Номер 6.97, страница 191 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 6.93-6.104 упростите выражения.

6.97.1) $\left( \frac{b}{a^2-ab} + \frac{a}{b^2-ab} \right) \cdot \frac{a^2b+ab^2}{a^2-b^2}$;

2) $\left( \frac{2a}{a+2} + \frac{2a}{6-3a} + \frac{8a}{a^2-4} \right) : \frac{a-4}{a-2}$;

3) $\left( \frac{a^2+b^2}{a} + b \right) : \left( \left( \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} \right) \cdot \frac{a^3-b^3}{a^2+b^2} \right)$;

4) $\left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) : \frac{x^2+2xy+y^2}{2xy}$;

1) Сначала упростим выражение в скобках, приводя дроби к общему знаменателю. Для этого разложим знаменатели на множители.

$ \frac{b}{a^2-ab} + \frac{a}{b^2-ab} = \frac{b}{a(a-b)} + \frac{a}{b(b-a)} = \frac{b}{a(a-b)} - \frac{a}{b(a-b)} $

Общий знаменатель $ab(a-b)$. Приводим дроби к нему.

$ \frac{b \cdot b}{ab(a-b)} - \frac{a \cdot a}{ab(a-b)} = \frac{b^2-a^2}{ab(a-b)} $

Теперь подставим это выражение в исходное и упростим второй множитель.

$ (\frac{b^2-a^2}{ab(a-b)}) \cdot \frac{a^2b+ab^2}{a^2-b^2} = \frac{-(a^2-b^2)}{ab(a-b)} \cdot \frac{ab(a+b)}{a^2-b^2} $

Сократим общие множители $ab$ и $(a^2-b^2)$.

$ \frac{-1}{a-b} \cdot (a+b) = -\frac{a+b}{a-b} = \frac{a+b}{b-a} $

Ответ: $ \frac{a+b}{b-a} $

2) Сначала выполним действия в скобках. Разложим знаменатели на множители, чтобы найти общий знаменатель.

$ \frac{2a}{a+2} + \frac{2a}{6-3a} + \frac{8a}{a^2-4} = \frac{2a}{a+2} + \frac{2a}{3(2-a)} + \frac{8a}{(a-2)(a+2)} = \frac{2a}{a+2} - \frac{2a}{3(a-2)} + \frac{8a}{(a-2)(a+2)} $

Общий знаменатель $3(a-2)(a+2)$.

$ \frac{2a \cdot 3(a-2) - 2a \cdot (a+2) + 8a \cdot 3}{3(a-2)(a+2)} = \frac{6a(a-2) - 2a(a+2) + 24a}{3(a^2-4)} $

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые.

$ \frac{6a^2 - 12a - 2a^2 - 4a + 24a}{3(a^2-4)} = \frac{4a^2 + 8a}{3(a^2-4)} = \frac{4a(a+2)}{3(a-2)(a+2)} $

Сократим $(a+2)$.

$ \frac{4a}{3(a-2)} $

Теперь выполним деление. Деление на дробь — это умножение на обратную ей дробь.

$ \frac{4a}{3(a-2)} : \frac{a-4}{a-2} = \frac{4a}{3(a-2)} \cdot \frac{a-2}{a-4} $

Сократим общий множитель $(a-2)$.

$ \frac{4a}{3(a-4)} $

Ответ: $ \frac{4a}{3(a-4)} $

3) Решим задачу по действиям. Сначала упростим первое выражение в скобках (делимое).

$ \frac{a^2+b^2}{a} + b = \frac{a^2+b^2}{a} + \frac{ab}{a} = \frac{a^2+ab+b^2}{a} $

Теперь упростим второе выражение в скобках (делитель). Начнем со сложения дробей.

$ \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{b^2+a^2}{a^2b^2} $

Теперь выполним умножение внутри делителя.

$ (\frac{a^2+b^2}{a^2b^2}) \cdot \frac{a^3-b^3}{a^2+b^2} = \frac{(a^2+b^2)(a^3-b^3)}{a^2b^2(a^2+b^2)} = \frac{a^3-b^3}{a^2b^2} $

Теперь выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь.

$ \frac{a^2+ab+b^2}{a} : \frac{a^3-b^3}{a^2b^2} = \frac{a^2+ab+b^2}{a} \cdot \frac{a^2b^2}{a^3-b^3} $

Используем формулу разности кубов $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$.

$ \frac{a^2+ab+b^2}{a} \cdot \frac{a^2b^2}{(a-b)(a^2+ab+b^2)} $

Сократим общие множители $(a^2+ab+b^2)$ и $a$.

$ \frac{1}{a} \cdot \frac{a^2b^2}{a-b} = \frac{ab^2}{a-b} $

Ответ: $ \frac{ab^2}{a-b} $

4) Упростим выражение в скобках.

$ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{y}{xy} + \frac{x}{xy} = \frac{x+y}{xy} $

Упростим делитель, применив формулу квадрата суммы $x^2+2xy+y^2=(x+y)^2$.

$ \frac{x^2+2xy+y^2}{2xy} = \frac{(x+y)^2}{2xy} $

Теперь выполним деление. Заменим деление на умножение на обратную дробь.

$ \frac{x+y}{xy} : \frac{(x+y)^2}{2xy} = \frac{x+y}{xy} \cdot \frac{2xy}{(x+y)^2} $

Сократим общие множители $xy$ и $(x+y)$.

$ \frac{(x+y) \cdot 2xy}{xy \cdot (x+y)(x+y)} = \frac{2}{x+y} $

Ответ: $ \frac{2}{x+y} $