Номер 6.95, страница 191 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 6.93-6.104 упростите выражения.

6.95. 1) $(\frac{x}{x+1} + 1) : \frac{1+x}{2x-1};$

2) $\frac{5y^2}{1-y^2} : (1 - \frac{1}{1-y});$

3) $(\frac{4a}{2-a} - a) : \frac{a+2}{a-2};$

4) $\frac{x-2}{x-3} \cdot (x + \frac{x}{2-x});$

1) $(\frac{x}{x+1}+1) \cdot \frac{1+x}{2x-1}$

Сначала упростим выражение в скобках, приведя слагаемые к общему знаменателю $x+1$:

$\frac{x}{x+1}+1 = \frac{x}{x+1} + \frac{x+1}{x+1} = \frac{x + x + 1}{x+1} = \frac{2x+1}{x+1}$

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

$(\frac{2x+1}{x+1}) \cdot \frac{1+x}{2x-1}$

Поскольку $1+x = x+1$, мы можем сократить эту часть дробей:

$\frac{2x+1}{\cancel{x+1}} \cdot \frac{\cancel{1+x}}{2x-1} = \frac{2x+1}{2x-1}$

При условии, что $x+1 \neq 0$ (т.е. $x \neq -1$) и $2x-1 \neq 0$ (т.е. $x \neq 0.5$).

Ответ: $\frac{2x+1}{2x-1}$

2) $\frac{5y^2}{1-y^2} : (1-\frac{1}{1-y})$

Упростим выражение в скобках, приведя его к общему знаменателю $1-y$:

$1-\frac{1}{1-y} = \frac{1-y}{1-y} - \frac{1}{1-y} = \frac{1-y-1}{1-y} = \frac{-y}{1-y}$

Теперь выполним деление. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную дробь:

$\frac{5y^2}{1-y^2} : \frac{-y}{1-y} = \frac{5y^2}{1-y^2} \cdot \frac{1-y}{-y}$

Разложим знаменатель $1-y^2$ на множители по формуле разности квадратов: $1-y^2 = (1-y)(1+y)$:

$\frac{5y^2}{(1-y)(1+y)} \cdot \frac{1-y}{-y}$

Сократим общие множители $(1-y)$ и $y$:

$\frac{5y \cdot \cancel{y}}{\cancel{(1-y)}(1+y)} \cdot \frac{\cancel{1-y}}{-\cancel{y}} = \frac{5y}{1+y} \cdot \frac{1}{-1} = -\frac{5y}{1+y}$

При условии, что $1-y^2 \neq 0$ ($y \neq \pm1$), $1-y \neq 0$ ($y \neq 1$) и делитель не равен нулю $\frac{-y}{1-y} \neq 0$ ($y \neq 0$).

Ответ: $-\frac{5y}{1+y}$

3) $(\frac{4a}{2-a}-a) : \frac{a+2}{a-2}$

Упростим выражение в скобках:

$\frac{4a}{2-a}-a = \frac{4a}{2-a} - \frac{a(2-a)}{2-a} = \frac{4a - (2a-a^2)}{2-a} = \frac{4a - 2a + a^2}{2-a} = \frac{a^2+2a}{2-a}$

Вынесем общий множитель $a$ в числителе:

$\frac{a(a+2)}{2-a}$

Теперь выполним деление, заменив его на умножение на обратную дробь:

$\frac{a(a+2)}{2-a} : \frac{a+2}{a-2} = \frac{a(a+2)}{2-a} \cdot \frac{a-2}{a+2}$

Заметим, что $a-2 = -(2-a)$. Подставим это в выражение:

$\frac{a(a+2)}{2-a} \cdot \frac{-(2-a)}{a+2}$

Сократим общие множители $(a+2)$ и $(2-a)$:

$\frac{a\cancel{(a+2)}}{\cancel{2-a}} \cdot \frac{-\cancel{(2-a)}}{\cancel{a+2}} = a \cdot (-1) = -a$

При условии, что $2-a \neq 0$ ($a \neq 2$) и делитель не равен нулю $\frac{a+2}{a-2} \neq 0$ ($a \neq -2$).

Ответ: $-a$

4) $\frac{x-2}{x-3} \cdot (x+\frac{x}{2-x})$

Сначала упростим выражение в скобках:

$x+\frac{x}{2-x} = \frac{x(2-x)}{2-x} + \frac{x}{2-x} = \frac{2x-x^2+x}{2-x} = \frac{3x-x^2}{2-x}$

Вынесем общий множитель $x$ в числителе:

$\frac{x(3-x)}{2-x}$

Теперь выполним умножение:

$\frac{x-2}{x-3} \cdot \frac{x(3-x)}{2-x}$

Заметим, что $3-x = -(x-3)$ и $2-x = -(x-2)$. Подставим это в выражение:

$\frac{x-2}{x-3} \cdot \frac{x(-(x-3))}{-(x-2)} = \frac{x-2}{x-3} \cdot \frac{-x(x-3)}{-(x-2)}$

Два минуса дают плюс, поэтому выражение становится:

$\frac{x-2}{x-3} \cdot \frac{x(x-3)}{x-2}$

Сократим общие множители $(x-2)$ и $(x-3)$:

$\frac{\cancel{x-2}}{\cancel{x-3}} \cdot \frac{x\cancel{(x-3)}}{\cancel{x-2}} = x$

При условии, что $x-3 \neq 0$ ($x \neq 3$) и $2-x \neq 0$ ($x \neq 2$).

Ответ: $x$