Номер 6.99, страница 192 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях6.93–6.104 упростите выражения.

6.99. 1) $\frac{4xy}{y^2-x^2} : \left( \frac{1}{y^2-x^2} + \frac{1}{x^2+2xy+y^2} \right);$

2) $\left( \frac{x-2y}{x^2-2xy} - \frac{1}{x^2-4y^2} : \frac{x+2y}{(2y-x)^2} \right) \cdot \frac{(x+2y)^2}{4y^2}.$

1) Для упрощения данного выражения выполним действия по порядку. Сначала выполним сложение дробей в скобках, а затем деление.

1. Упростим выражение в скобках: $\frac{1}{y^2 - x^2} + \frac{1}{x^2 + 2xy + y^2}$.

Для этого разложим знаменатели на множители, используя формулы разности квадратов и квадрата суммы:

$y^2 - x^2 = (y - x)(y + x)$

$x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2$

Сумма дробей примет вид:

$\frac{1}{(y - x)(y + x)} + \frac{1}{(y + x)^2}$

Общий знаменатель для этих дробей равен $(y - x)(y + x)^2$. Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{1 \cdot (y+x)}{(y - x)(y + x)(y+x)} + \frac{1 \cdot (y-x)}{(y + x)^2 (y-x)} = \frac{y + x + y - x}{(y - x)(y + x)^2} = \frac{2y}{(y - x)(y + x)^2}$

2. Теперь выполним деление:

$\frac{4xy}{y^2 - x^2} : \frac{2y}{(y - x)(y + x)^2}$

Заменим деление на умножение на обратную дробь и также разложим знаменатель первой дроби на множители:

$\frac{4xy}{(y - x)(y + x)} \cdot \frac{(y - x)(y + x)^2}{2y}$

3. Сократим общие множители в числителе и знаменателе:

$\frac{\cancel{4}^2 x \cancel{y}}{\cancel{(y - x)}\cancel{(y + x)}} \cdot \frac{\cancel{(y - x)}(y + x)^{\cancel{2}}}{\cancel{2}\cancel{y}} = 2x(y + x)$

Можно также раскрыть скобки: $2x(y+x) = 2xy + 2x^2$.

Ответ: $2x(y+x)$

2) Упростим выражение по действиям, соблюдая их порядок: сначала деление в скобках, затем вычитание в скобках, и в конце умножение.

1. Выполним деление в скобках:

$\frac{1}{x^2 - 4y^2} : \frac{x + 2y}{(2y - x)^2}$

Разложим знаменатели на множители, используя формулу разности квадратов и тот факт, что $(a-b)^2 = (b-a)^2$:

$x^2 - 4y^2 = (x - 2y)(x + 2y)$

$(2y - x)^2 = (x - 2y)^2$

Деление примет вид:

$\frac{1}{(x - 2y)(x + 2y)} : \frac{x + 2y}{(x - 2y)^2}$

Заменим деление на умножение и сократим:

$\frac{1}{(x - 2y)(x + 2y)} \cdot \frac{(x - 2y)^2}{x + 2y} = \frac{(x - 2y)^{\cancel{2}}}{\cancel{(x - 2y)}(x + 2y)^2} = \frac{x - 2y}{(x + 2y)^2}$

2. Выполним вычитание в скобках:

$\frac{x - 2y}{x^2 - 2xy} - \frac{x - 2y}{(x + 2y)^2}$

Разложим знаменатель первой дроби на множители: $x^2 - 2xy = x(x - 2y)$.

$\frac{x - 2y}{x(x - 2y)} - \frac{x - 2y}{(x + 2y)^2}$

Сократим первую дробь на $(x - 2y)$, предполагая $x \neq 2y$:

$\frac{1}{x} - \frac{x - 2y}{(x + 2y)^2}$

Приведем к общему знаменателю $x(x + 2y)^2$:

$\frac{1 \cdot (x + 2y)^2}{x(x + 2y)^2} - \frac{x \cdot (x - 2y)}{x(x + 2y)^2} = \frac{(x + 2y)^2 - x(x - 2y)}{x(x + 2y)^2}$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{x^2 + 4xy + 4y^2 - x^2 + 2xy}{x(x + 2y)^2} = \frac{6xy + 4y^2}{x(x + 2y)^2}$

3. Выполним умножение:

$(\frac{6xy + 4y^2}{x(x + 2y)^2}) \cdot \frac{(x + 2y)^2}{4y^2}$

Сократим общий множитель $(x + 2y)^2$:

$\frac{6xy + 4y^2}{x \cdot 4y^2}$

Вынесем в числителе за скобки общий множитель $2y$:

$\frac{2y(3x + 2y)}{4xy^2}$

Сократим дробь на $2y$:

$\frac{\cancel{2y}(3x + 2y)}{\cancel{4}^2 x y^{\cancel{2}}} = \frac{3x + 2y}{2xy}$

Ответ: $\frac{3x + 2y}{2xy}$