Номер 6.107, страница 193 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.107. Упростите выражение:

1) $\frac{\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} - \frac{x}{ab}\right)(a+b+x)}{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{2}{ab} - \frac{x^2}{a^2b^2}};$

2) $\frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}}{\frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ac}}.$

1) Рассмотрим выражение: $\frac{(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} - \frac{x}{ab})(a+b+x)}{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{2}{ab} - \frac{x^2}{a^2b^2}}$.

Для начала упростим числитель. Приведем к общему знаменателю $ab$ выражение в первой скобке:

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} - \frac{x}{ab} = \frac{b}{ab} + \frac{a}{ab} - \frac{x}{ab} = \frac{a+b-x}{ab}$.

Теперь весь числитель можно записать так:

$(\frac{a+b-x}{ab})(a+b+x) = \frac{(a+b-x)(a+b+x)}{ab}$.

В числителе полученной дроби воспользуемся формулой разности квадратов $(y-z)(y+z)=y^2-z^2$, где $y=a+b$ и $z=x$:

$\frac{((a+b)-x)((a+b)+x)}{ab} = \frac{(a+b)^2 - x^2}{ab}$.

Далее упростим знаменатель исходной дроби: $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{2}{ab} - \frac{x^2}{a^2b^2}$.

Сгруппируем первые три слагаемых: $(\frac{1}{a^2} + \frac{2}{ab} + \frac{1}{b^2}) - \frac{x^2}{a^2b^2}$.

Выражение в скобках представляет собой квадрат суммы: $(\frac{1}{a} + \frac{1}{b})^2$.

Таким образом, знаменатель преобразуется к виду: $(\frac{1}{a} + \frac{1}{b})^2 - \frac{x^2}{a^2b^2}$.

Приведя к общему знаменателю выражение в скобках, получаем $(\frac{a+b}{ab})^2$, и знаменатель становится:

$\frac{(a+b)^2}{a^2b^2} - \frac{x^2}{a^2b^2} = \frac{(a+b)^2 - x^2}{a^2b^2}$.

Теперь подставим упрощенные числитель и знаменатель в исходное выражение:

$\frac{\frac{(a+b)^2 - x^2}{ab}}{\frac{(a+b)^2 - x^2}{a^2b^2}}$.

Для деления дробей, умножим числитель на перевернутый знаменатель:

$\frac{(a+b)^2 - x^2}{ab} \cdot \frac{a^2b^2}{(a+b)^2 - x^2}$.

Сократим общий множитель $(a+b)^2 - x^2$ и упростим оставшееся выражение:

$\frac{a^2b^2}{ab} = ab$.

Ответ: $ab$.

2) Рассмотрим выражение: $\frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}}{\frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ac}}$.

Упростим отдельно числитель и знаменатель этой многоэтажной дроби.

Сначала преобразуем числитель, приведя дроби к общему знаменателю $abc$:

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{bc}{abc} + \frac{ac}{abc} + \frac{ab}{abc} = \frac{ab+ac+bc}{abc}$.

Теперь преобразуем знаменатель, также приведя дроби к общему знаменателю $abc$:

$\frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ac} = \frac{c}{abc} + \frac{a}{abc} + \frac{b}{abc} = \frac{a+b+c}{abc}$.

Теперь разделим упрощенный числитель на упрощенный знаменатель:

$\frac{\frac{ab+ac+bc}{abc}}{\frac{a+b+c}{abc}}$.

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на перевернутую вторую:

$\frac{ab+ac+bc}{abc} \cdot \frac{abc}{a+b+c}$.

Сократив $abc$ в числителе и знаменателе, получим окончательный результат:

$\frac{ab+ac+bc}{a+b+c}$.

Ответ: $\frac{ab+ac+bc}{a+b+c}$.