Номер 6.112, страница 194 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.112. Докажите, что при всех допустимых значениях переменных верно тождество

$\frac{\left( \frac{1}{(a-b)^2} + \frac{2}{a^2-b^2} + \frac{1}{(a+b)^2} \right) (a^2-b^2)^2}{(a+b)^2 + 2(a^2-b^2) + (a-b)^2} = 1.$

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Выполним преобразования по шагам, отдельно для числителя и знаменателя.

Преобразование числителя

Рассмотрим числитель дроби: $ \left(\frac{1}{(a-b)^2} + \frac{2}{a^2-b^2} + \frac{1}{(a+b)^2}\right)(a^2-b^2)^2 $.

Выражение в первых скобках является полным квадратом суммы. Используя формулу $x^2+2xy+y^2=(x+y)^2$ и тот факт, что $ a^2-b^2 = (a-b)(a+b) $, получаем:

$ \frac{1}{(a-b)^2} + \frac{2}{(a-b)(a+b)} + \frac{1}{(a+b)^2} = \left(\frac{1}{a-b} + \frac{1}{a+b}\right)^2 $.

Упростим сумму в скобках, приведя дроби к общему знаменателю:

$ \frac{1}{a-b} + \frac{1}{a+b} = \frac{a+b+a-b}{(a-b)(a+b)} = \frac{2a}{a^2-b^2} $.

Следовательно, выражение в первых скобках равно:

$ \left(\frac{2a}{a^2-b^2}\right)^2 = \frac{4a^2}{(a^2-b^2)^2} $.

Таким образом, весь числитель упрощается до:

$ \frac{4a^2}{(a^2-b^2)^2} \cdot (a^2-b^2)^2 = 4a^2 $.

Преобразование знаменателя

Рассмотрим знаменатель дроби: $ (a+b)^2 + 2(a^2-b^2) + (a-b)^2 $.

Это выражение также является полным квадратом суммы, так как $a^2-b^2 = (a+b)(a-b)$. Применив формулу $X^2+2XY+Y^2=(X+Y)^2$, где $X=a+b$ и $Y=a-b$, получим:

$ (a+b)^2 + 2(a+b)(a-b) + (a-b)^2 = \left((a+b)+(a-b)\right)^2 $.

Упрощая выражение в скобках, находим:

$ (a+b+a-b)^2 = (2a)^2 = 4a^2 $.

Завершение доказательства

Теперь, когда мы упростили и числитель, и знаменатель, мы можем найти значение всей дроби, подставив полученные выражения:

$ \frac{4a^2}{4a^2} = 1 $.

Это равенство справедливо для всех допустимых значений переменных, то есть для всех $a$ и $b$, при которых знаменатели в исходном выражении не равны нулю. Область допустимых значений определяется условиями: $ a \neq b $, $ a \neq -b $ и $ 4a^2 \neq 0 $, что означает $ a \neq 0 $.

Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.