Номер 6.115, страница 194 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.115. Определите функцию обратной пропорциональности, график которой проходит через точку:
1) A$(4;0,5)$;
2) B$(-0,5;2)$. Постройте график этой функции.

1) Функция обратной пропорциональности имеет общий вид $y = \frac{k}{x}$, где $k$ — ненулевой коэффициент.

По условию, график функции проходит через точку A(4; 0,5). Это значит, что при подстановке координат точки в уравнение функции, мы получим верное равенство. Подставим $x = 4$ и $y = 0,5$:

$0,5 = \frac{k}{4}$

Для нахождения коэффициента $k$ решим это уравнение:

$k = 0,5 \cdot 4$

$k = 2$

Таким образом, искомая функция имеет вид: $y = \frac{2}{x}$.

Для построения графика этой функции, который является гиперболой, найдем несколько точек. Так как $k = 2 > 0$, ветви гиперболы будут располагаться в I и III координатных четвертях.

Составим таблицу значений:

Для I четверти (x > 0):

x = 1, y = 2/1 = 2

x = 2, y = 2/2 = 1

x = 4, y = 2/4 = 0,5 (точка А)

Для III четверти (x < 0):

x = -1, y = 2/(-1) = -2

x = -2, y = 2/(-2) = -1

x = -4, y = 2/(-4) = -0,5

Построив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавными линиями, получим две ветви гиперболы, которые приближаются к осям координат (асимптотам).

Ответ: $y = \frac{2}{x}$. График — гипербола с ветвями в I и III координатных четвертях.

2) Аналогично первому случаю, используем общий вид функции обратной пропорциональности $y = \frac{k}{x}$.

График функции проходит через точку B(-0,5; 2). Подставим её координаты $x = -0,5$ и $y = 2$ в уравнение:

$2 = \frac{k}{-0,5}$

Найдем коэффициент $k$:

$k = 2 \cdot (-0,5)$

$k = -1$

Следовательно, искомая функция: $y = \frac{-1}{x}$ или $y = -\frac{1}{x}$.

Построим график этой функции. Так как $k = -1 < 0$, ветви гиперболы будут располагаться во II и IV координатных четвертях.

Составим таблицу значений:

Для II четверти (x < 0):

x = -2, y = -1/(-2) = 0,5

x = -1, y = -1/(-1) = 1

x = -0,5, y = -1/(-0,5) = 2 (точка B)

Для IV четверти (x > 0):

x = 0,5, y = -1/(0,5) = -2

x = 1, y = -1/1 = -1

x = 2, y = -1/2 = -0,5

Построив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавными линиями, получим две ветви гиперболы, которые приближаются к осям координат.

Ответ: $y = -\frac{1}{x}$. График — гипербола с ветвями во II и IV координатных четвертях.