Номер 6.75, страница 187 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.75. 1) $\frac{ab^2 - ac^2}{2a + 8} : \frac{3a + 12}{ab + ac}$;

2) $\frac{4x^2 - 25y^2}{x^3 + 8} : \frac{2x + 5y}{x^2 - 2x + 4}$;

3) $\frac{m^3 - n^3}{m + n} \cdot \frac{m^2 - n^2}{m^2 + mn + n^2}$;

4) $\frac{p^2 + pq + q^2}{p - 1} \cdot \frac{p^3 - q^3}{p^2 - 1}$.

1) Решим задачу, выполнив действия с дробями.

Исходное выражение: $\frac{ab^2 - ac^2}{2a + 8} : \frac{3a + 12}{ab + ac}$.

Деление дробей эквивалентно умножению первой дроби на дробь, обратную второй:

$\frac{ab^2 - ac^2}{2a + 8} \cdot \frac{ab + ac}{3a + 12}$

Теперь разложим числители и знаменатели на множители, чтобы найти общие и сократить их.

Числитель первой дроби: $ab^2 - ac^2 = a(b^2 - c^2) = a(b-c)(b+c)$ (вынесение общего множителя и формула разности квадратов).

Знаменатель первой дроби: $2a + 8 = 2(a+4)$ (вынесение общего множителя).

Числитель второй дроби: $ab + ac = a(b+c)$ (вынесение общего множителя).

Знаменатель второй дроби: $3a + 12 = 3(a+4)$ (вынесение общего множителя).

Подставим разложенные на множители выражения обратно в произведение:

$\frac{a(b-c)(b+c)}{2(a+4)} \cdot \frac{a(b+c)}{3(a+4)}$

Перемножим числители с числителями, а знаменатели со знаменателями:

$\frac{a(b-c)(b+c) \cdot a(b+c)}{2(a+4) \cdot 3(a+4)} = \frac{a^2(b-c)(b+c)^2}{6(a+4)^2}$

В получившемся выражении нет общих множителей в числителе и знаменателе, поэтому дальнейшее сокращение невозможно.

Ответ: $\frac{a^2(b-c)(b+c)^2}{6(a+4)^2}$.

2) Решим задачу, выполнив действия с дробями.

Исходное выражение: $\frac{4x^2 - 25y^2}{x^3 + 8} : \frac{2x + 5y}{x^2 - 2x + 4}$.

Заменяем деление на умножение на обратную дробь:

$\frac{4x^2 - 25y^2}{x^3 + 8} \cdot \frac{x^2 - 2x + 4}{2x + 5y}$

Разложим на множители числитель и знаменатель первой дроби:

Числитель: $4x^2 - 25y^2 = (2x)^2 - (5y)^2 = (2x - 5y)(2x + 5y)$ (используя формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$).

Знаменатель: $x^3 + 8 = x^3 + 2^3 = (x+2)(x^2 - 2x + 4)$ (используя формулу суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$).

Подставим разложенные выражения в произведение:

$\frac{(2x - 5y)(2x + 5y)}{(x+2)(x^2 - 2x + 4)} \cdot \frac{x^2 - 2x + 4}{2x + 5y}$

Теперь сократим общие множители. Множитель $(2x+5y)$ в числителе и знаменателе сокращается. Множитель $(x^2 - 2x + 4)$ также присутствует в числителе и знаменателе и сокращается.

После сокращения остается:

$\frac{2x - 5y}{x+2}$

Ответ: $\frac{2x - 5y}{x+2}$.

3) Решим задачу, выполнив умножение дробей.

Исходное выражение: $\frac{m^3 - n^3}{m+n} \cdot \frac{m^2 - n^2}{m^2 + mn + n^2}$.

Разложим на множители числители дробей, используя формулы сокращенного умножения:

Числитель первой дроби: $m^3 - n^3 = (m-n)(m^2 + mn + n^2)$ (формула разности кубов).

Числитель второй дроби: $m^2 - n^2 = (m-n)(m+n)$ (формула разности квадратов).

Подставим разложенные выражения в произведение:

$\frac{(m-n)(m^2 + mn + n^2)}{m+n} \cdot \frac{(m-n)(m+n)}{m^2 + mn + n^2}$

Сократим общие множители в числителях и знаменателях. Множитель $(m+n)$ в знаменателе первой дроби и числителе второй сокращаются. Множитель $(m^2 + mn + n^2)$ в числителе первой дроби и знаменателе второй также сокращаются.

После сокращения в числителе остаются два множителя $(m-n)$:

$(m-n) \cdot (m-n) = (m-n)^2$

Ответ: $(m-n)^2$.

4) Решим задачу, выполнив умножение дробей.

Исходное выражение: $\frac{p^2 + pq + q^2}{p-1} \cdot \frac{p^3 - q^3}{p^3 - 1}$.

Разложим на множители выражения в числителе и знаменателе второй дроби:

Числитель: $p^3 - q^3 = (p-q)(p^2 + pq + q^2)$ (формула разности кубов).

Знаменатель: $p^3 - 1 = p^3 - 1^3 = (p-1)(p^2 + p \cdot 1 + 1^2) = (p-1)(p^2 + p + 1)$ (формула разности кубов).

Подставим разложенные выражения в исходное произведение:

$\frac{p^2 + pq + q^2}{p-1} \cdot \frac{(p-q)(p^2 + pq + q^2)}{(p-1)(p^2 + p + 1)}$

Теперь перемножим числители с числителями и знаменатели со знаменателями:

Числитель произведения: $(p^2 + pq + q^2) \cdot (p-q)(p^2 + pq + q^2) = (p-q)(p^2 + pq + q^2)^2$.

Знаменатель произведения: $(p-1) \cdot (p-1)(p^2 + p + 1) = (p-1)^2(p^2 + p + 1)$.

Запишем итоговую дробь:

$\frac{(p-q)(p^2 + pq + q^2)^2}{(p-1)^2(p^2 + p + 1)}$

В полученном выражении общих множителей для сокращения нет.

Ответ: $\frac{(p-q)(p^2 + pq + q^2)^2}{(p-1)^2(p^2 + p + 1)}$.