Номер 6.69, страница 186 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.69. 1) $\frac{48a^4}{49b^4} \cdot \frac{7b^2}{16a^2}$;

2) $\frac{2n}{5m^3} \cdot 10m^5$;

3) $\frac{25y^2}{16x} : \frac{y^3}{x^2}$;

4) $6xy^2 : \frac{3y^2}{4x}$.

1) Чтобы умножить алгебраические дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели. Затем, по возможности, сократить полученную дробь.

$\frac{48a^4}{49b^4} \cdot \frac{7b^2}{16a^2} = \frac{48a^4 \cdot 7b^2}{49b^4 \cdot 16a^2}$

Сгруппируем и сократим числовые коэффициенты и переменные. Сократим $48$ и $16$ на $16$ (получим $3$ и $1$). Сократим $49$ и $7$ на $7$ (получим $7$ и $1$).

$\frac{48 \cdot 7}{49 \cdot 16} = \frac{3 \cdot 1}{7 \cdot 1} = \frac{3}{7}$

Теперь сократим переменные, используя правило деления степеней $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$:

$\frac{a^4}{a^2} = a^{4-2} = a^2$

$\frac{b^2}{b^4} = \frac{1}{b^{4-2}} = \frac{1}{b^2}$

Объединим полученные результаты:

$\frac{3}{7} \cdot a^2 \cdot \frac{1}{b^2} = \frac{3a^2}{7b^2}$

Ответ: $\frac{3a^2}{7b^2}$

2) Представим выражение $10m^5$ в виде дроби $\frac{10m^5}{1}$ и выполним умножение:

$\frac{2n}{5m^3} \cdot 10m^5 = \frac{2n}{5m^3} \cdot \frac{10m^5}{1} = \frac{2n \cdot 10m^5}{5m^3}$

Сократим числовые коэффициенты $10$ и $5$ на $5$ (получим $2$ и $1$).

$\frac{2n \cdot 2m^5}{m^3}$

Сократим переменные: $\frac{m^5}{m^3} = m^{5-3} = m^2$.

Перемножим оставшиеся множители:

$2n \cdot 2m^2 = 4nm^2$

Ответ: $4nm^2$

3) Деление на дробь равносильно умножению на обратную (перевернутую) дробь:

$\frac{25y^2}{16x} : \frac{y^8}{x^2} = \frac{25y^2}{16x} \cdot \frac{x^2}{y^8} = \frac{25y^2x^2}{16xy^8}$

Сократим переменные, применяя правило деления степеней:

$\frac{x^2}{x} = x^{2-1} = x$

$\frac{y^2}{y^8} = \frac{1}{y^{8-2}} = \frac{1}{y^6}$

Объединяем полученные результаты. Числовые коэффициенты $25$ и $16$ не имеют общих делителей.

$\frac{25x}{16y^6}$

Ответ: $\frac{25x}{16y^6}$

4) Представим выражение $6xy^2$ как дробь $\frac{6xy^2}{1}$ и заменим деление умножением на обратную дробь:

$6xy^2 : \frac{3y^2}{4x} = \frac{6xy^2}{1} \cdot \frac{4x}{3y^2} = \frac{6xy^2 \cdot 4x}{3y^2}$

Сократим выражение. Числовые коэффициенты $6$ и $3$ сокращаются на $3$ (получаем $2$ и $1$). Переменные $y^2$ в числителе и знаменателе также сокращаются.

$\frac{2x \cdot 4x}{1} = 8x^2$

Ответ: $8x^2$