Номер 6.63, страница 184 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.63. Постройте график функции, заданной формулой:

1) $y = 2x + 1$;

2) $y = \frac{1}{2}x^2$;

3) $y = -\frac{1}{3}x^3$.

1) Функция $y=2x+1$ является линейной. Ее график — это прямая линия. Для построения прямой достаточно найти координаты двух точек, принадлежащих этой прямой.

Найдем две точки, подставив произвольные значения $x$ в уравнение:

1. Пусть $x=0$, тогда $y = 2 \cdot 0 + 1 = 1$. Получаем точку $(0; 1)$.

2. Пусть $x=1$, тогда $y = 2 \cdot 1 + 1 = 3$. Получаем точку $(1; 3)$.

Теперь нужно отметить точки $(0; 1)$ и $(1; 3)$ на координатной плоскости и провести через них прямую.

Ответ: Графиком функции является прямая линия, проходящая через точки $(0; 1)$ и $(1; 3)$.

2) Функция $y=\frac{1}{2}x^2$ является квадратичной. Ее график — это парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен $\frac{1}{2}$, что больше нуля, ветви параболы направлены вверх. Вершина этой параболы находится в начале координат, в точке $(0; 0)$. График симметричен относительно оси OY.

Для построения графика найдем несколько точек, составив таблицу значений:

При $x=0$, $y=\frac{1}{2} \cdot 0^2 = 0$. Точка $(0; 0)$.

При $x=1$, $y=\frac{1}{2} \cdot 1^2 = \frac{1}{2}$. Точка $(1; 0,5)$.

При $x=2$, $y=\frac{1}{2} \cdot 2^2 = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$. Точка $(2; 2)$.

При $x=3$, $y=\frac{1}{2} \cdot 3^2 = \frac{1}{2} \cdot 9 = 4,5$. Точка $(3; 4,5)$.

В силу симметрии относительно оси OY, получаем также точки $(-1; 0,5)$, $(-2; 2)$, $(-3; 4,5)$.

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавной линией, получим параболу.

Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(0; 0)$ и ветвями, направленными вверх, проходящая, например, через точки $(2; 2)$ и $(-2; 2)$.

3) Функция $y=-\frac{1}{3}x^3$ является кубической. Ее график — кубическая парабола. График проходит через начало координат, точку $(0; 0)$. Функция является нечетной ($y(-x) = -y(x)$), поэтому ее график симметричен относительно начала координат.

Для построения графика найдем несколько точек:

При $x=0$, $y=0$. Точка $(0; 0)$.

При $x=1$, $y=-\frac{1}{3} \cdot 1^3 = -\frac{1}{3}$. Точка $(1; -\frac{1}{3})$.

При $x=2$, $y=-\frac{1}{3} \cdot 2^3 = -\frac{8}{3}$. Точка $(2; -2\frac{2}{3})$.

При $x=3$, $y=-\frac{1}{3} \cdot 3^3 = -9$. Точка $(3; -9)$.

В силу симметрии относительно начала координат, получаем точки: $(-1; \frac{1}{3})$, $(-2; 2\frac{2}{3})$, $(-3; 9)$.

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавной кривой, получим график функции.

Ответ: Графиком функции является кубическая парабола, симметричная относительно начала координат и проходящая, например, через точки $(3; -9)$ и $(-3; 9)$.