Вопросы, страница 185 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Как умножить одно дробное выражение на другое?

2. Докажите формулу умножения дробей (1).

3. Как разделить одно дробное выражение на другое?

4. Докажите формулу (2). $\frac{a}{b} \cdot \frac{m}{n} = \frac{a \cdot m}{b \cdot n}$ (1) $\frac{a}{b} : \frac{m}{n} = \frac{a}{b} \cdot \frac{n}{m} = \frac{an}{bm}$ (2)

1. Как умножить одно дробное выражение на другое? Для того чтобы умножить одно дробное выражение (дробь) на другое, необходимо найти произведение числителей этих дробей и произведение их знаменателей. Полученное произведение числителей станет числителем новой дроби, а произведение знаменателей — ее знаменателем. Ответ: Чтобы умножить дробь на дробь, нужно числитель умножить на числитель, а знаменатель — на знаменатель: $ \frac{a}{b} \cdot \frac{m}{n} = \frac{a \cdot m}{b \cdot n} $.

2. Докажите формулу умножения дробей (1). Обозначим произведение дробей $ \frac{a}{b} $ и $ \frac{m}{n} $ через $x$, то есть $ x = \frac{a}{b} \cdot \frac{m}{n} $. Наша задача — доказать, что $ x = \frac{a \cdot m}{b \cdot n} $. Умножим обе части равенства на произведение знаменателей $ b \cdot n $ (где $ b \neq 0 $ и $ n \neq 0 $): $ x \cdot (b \cdot n) = (\frac{a}{b} \cdot \frac{m}{n}) \cdot (b \cdot n) $. Используя сочетательный и переместительный законы умножения, перегруппируем множители в правой части: $ x \cdot (b \cdot n) = (\frac{a}{b} \cdot b) \cdot (\frac{m}{n} \cdot n) $. По определению дроби, $ \frac{a}{b} \cdot b = a $ и $ \frac{m}{n} \cdot n = m $. Подставив эти значения, получим: $ x \cdot (b \cdot n) = a \cdot m $. Чтобы найти $x$, разделим обе части на $ b \cdot n $: $ x = \frac{a \cdot m}{b \cdot n} $. Таким образом, мы доказали, что $ \frac{a}{b} \cdot \frac{m}{n} = \frac{a \cdot m}{b \cdot n} $. Ответ: Доказательство проведено путем введения переменной для произведения, умножения на произведение знаменателей и использования основных свойств умножения и определения дроби, что и приводит к искомой формуле.

3. Как разделить одно дробное выражение на другое? Чтобы разделить одно дробное выражение на другое, нужно первое выражение (делимое) умножить на выражение, обратное второму (делителю). Обратным для дроби $ \frac{m}{n} $ является дробь $ \frac{n}{m} $, то есть дробь, у которой числитель и знаменатель поменялись местами. Ответ: Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно делимое умножить на дробь, обратную делителю: $ \frac{a}{b} : \frac{m}{n} = \frac{a}{b} \cdot \frac{n}{m} = \frac{a \cdot n}{b \cdot m} $.

4. Докажите формулу (2). Обозначим частное от деления дроби $ \frac{a}{b} $ на дробь $ \frac{m}{n} $ через $x$, то есть $ x = \frac{a}{b} : \frac{m}{n} $. Согласно определению деления, делимое равно произведению делителя и частного: $ \frac{a}{b} = \frac{m}{n} \cdot x $. Чтобы найти $x$, умножим обе части этого равенства на дробь $ \frac{n}{m} $, обратную делителю (при $ m \neq 0, n \neq 0 $): $ \frac{a}{b} \cdot \frac{n}{m} = (\frac{m}{n} \cdot x) \cdot \frac{n}{m} $. Применив сочетательный закон умножения, получим: $ \frac{a}{b} \cdot \frac{n}{m} = x \cdot (\frac{m}{n} \cdot \frac{n}{m}) $. Так как произведение дроби на обратную ей дробь равно единице ($ \frac{m}{n} \cdot \frac{n}{m} = 1 $), то $ \frac{a}{b} \cdot \frac{n}{m} = x \cdot 1 = x $. Используя доказанное ранее правило умножения дробей, получаем $ x = \frac{a \cdot n}{b \cdot m} $. Таким образом, мы доказали, что $ \frac{a}{b} : \frac{m}{n} = \frac{a \cdot n}{b \cdot m} $. Ответ: Доказательство основано на определении операции деления, которое сводит ее к операции умножения на обратную дробь, что в результате и дает искомую формулу $ \frac{a}{b} : \frac{m}{n} = \frac{a \cdot n}{b \cdot m} $.