Номер 6.60, страница 184 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.60. Зная, что $\frac{x+y}{y}=2$, найдите значение выражения:

1) $\frac{x}{y}$;

2) $\frac{y}{x+y}$;

3) $\frac{x-y}{x}$;

4) $\frac{y}{x}$.

Для решения всех пунктов задачи сначала преобразуем данное в условии равенство: $\frac{x+y}{y} = 2$.

Так как $y$ находится в знаменателе, $y \neq 0$.

Разделим почленно числитель на знаменатель в левой части уравнения:

$\frac{x}{y} + \frac{y}{y} = 2$

Поскольку $\frac{y}{y} = 1$, уравнение принимает вид:

$\frac{x}{y} + 1 = 2$

Вычтем 1 из обеих частей уравнения:

$\frac{x}{y} = 2 - 1$

$\frac{x}{y} = 1$

Из этого соотношения следует, что $x=y$. Теперь мы можем использовать это знание для нахождения значений требуемых выражений.

1) $\frac{x}{y}$

Как было найдено в ходе преобразования исходного уравнения, значение этого выражения равно 1.

Ответ: 1

2) $\frac{y}{x+y}$

Данное выражение является обратным (перевернутым) к выражению $\frac{x+y}{y}$, значение которого дано в условии и равно 2. Следовательно, значение искомого выражения равно $\frac{1}{2}$.

$\frac{y}{x+y} = \frac{1}{\frac{x+y}{y}} = \frac{1}{2}$

Также можно подставить $x=y$ в выражение: $\frac{y}{x+y} = \frac{y}{y+y} = \frac{y}{2y} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

3) $\frac{x-y}{x}$

Используем выведенное нами соотношение $x=y$. Так как $y \neq 0$, то и $x \neq 0$.

Подставим $y=x$ в искомое выражение:

$\frac{x-y}{x} = \frac{x-x}{x} = \frac{0}{x} = 0$

Альтернативный способ — преобразовать выражение: $\frac{x-y}{x} = \frac{x}{x} - \frac{y}{x} = 1 - \frac{y}{x}$. Так как $\frac{x}{y}=1$, то и обратное выражение $\frac{y}{x}=1$. Тогда $1-1=0$.

Ответ: 0

4) $\frac{y}{x}$

Это выражение является обратным к выражению $\frac{x}{y}$.

Так как мы уже нашли, что $\frac{x}{y}=1$, то:

$\frac{y}{x} = \frac{1}{\frac{x}{y}} = \frac{1}{1} = 1$

Или, подставив $x=y$: $\frac{y}{x} = \frac{y}{y} = 1$.

Ответ: 1