Номер 6.54, страница 183 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.54. 1) $\frac{1}{x-2a} + \frac{1}{x+2a} + \frac{8a^2}{4a^2x-x^3};$

2) $\frac{4x-3}{3-2x} - \frac{4+5x}{3+2x} - \frac{3+x-10x^2}{4x^2-9};$

3) $\frac{4a^2-3a+5}{a^3-1} - \frac{1-2a}{a^2+a+1} + \frac{6}{1-a};$

4) $\frac{2a-1}{2a} - \frac{2a}{2a-1} - \frac{1}{2a-4a^2}.$

1) Упростим выражение $\frac{1}{x-2a} + \frac{1}{x+2a} + \frac{8a^2}{4a^2x-x^3}$.

Сначала преобразуем знаменатель третьей дроби: $4a^2x-x^3 = x(4a^2-x^2) = x(2a-x)(2a+x) = -x(x-2a)(x+2a)$.

Теперь выражение можно переписать в виде:

$\frac{1}{x-2a} + \frac{1}{x+2a} - \frac{8a^2}{x(x-2a)(x+2a)}$

Общим знаменателем является $x(x-2a)(x+2a)$. Приведем все дроби к этому знаменателю:

$\frac{1 \cdot x(x+2a)}{x(x-2a)(x+2a)} + \frac{1 \cdot x(x-2a)}{x(x-2a)(x+2a)} - \frac{8a^2}{x(x-2a)(x+2a)}$

Объединим дроби, выполнив действия в числителе:

$\frac{x(x+2a) + x(x-2a) - 8a^2}{x(x-2a)(x+2a)} = \frac{x^2+2ax + x^2-2ax - 8a^2}{x(x-2a)(x+2a)} = \frac{2x^2 - 8a^2}{x(x-2a)(x+2a)}$

Вынесем общий множитель 2 в числителе и воспользуемся формулой разности квадратов:

$\frac{2(x^2 - 4a^2)}{x(x^2 - 4a^2)} = \frac{2(x-2a)(x+2a)}{x(x-2a)(x+2a)}$

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе:

$\frac{2}{x}$

Ответ: $\frac{2}{x}$

2) Упростим выражение $\frac{4x-3}{3-2x} - \frac{4+5x}{3+2x} - \frac{3+x-10x^2}{4x^2-9}$.

Преобразуем знаменатели: $3-2x = -(2x-3)$ и $4x^2-9 = (2x-3)(2x+3)$. Это позволяет переписать выражение, изменив знаки перед дробями:

$\frac{4x-3}{-(2x-3)} - \frac{5x+4}{2x+3} - \frac{3+x-10x^2}{(2x-3)(2x+3)} = -\frac{4x-3}{2x-3} - \frac{5x+4}{2x+3} - \frac{3+x-10x^2}{(2x-3)(2x+3)}$

Общий знаменатель для всех дробей — $(2x-3)(2x+3)$. Приведем к нему:

$\frac{-(4x-3)(2x+3) - (5x+4)(2x-3) - (3+x-10x^2)}{(2x-3)(2x+3)}$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$-(8x^2+12x-6x-9) - (10x^2-15x+8x-12) - 3-x+10x^2$

$= -(8x^2+6x-9) - (10x^2-7x-12) - 3-x+10x^2$

$= -8x^2-6x+9 - 10x^2+7x+12 - 3-x+10x^2$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(-8x^2-10x^2+10x^2) + (-6x+7x-x) + (9+12-3) = -8x^2 + 0 + 18 = 18-8x^2$

Подставим упрощенный числитель обратно в дробь:

$\frac{18-8x^2}{(2x-3)(2x+3)} = \frac{-2(4x^2-9)}{(2x-3)(2x+3)} = \frac{-2(2x-3)(2x+3)}{(2x-3)(2x+3)}$

Сократим дробь:

$-2$

Ответ: $-2$

3) Упростим выражение $\frac{4a^2-3a+5}{a^3-1} - \frac{1-2a}{a^2+a+1} + \frac{6}{1-a}$.

Разложим знаменатели на множители, используя формулу разности кубов $a^3-1 = (a-1)(a^2+a+1)$ и вынесение минуса $1-a = -(a-1)$:

$\frac{4a^2-3a+5}{(a-1)(a^2+a+1)} - \frac{1-2a}{a^2+a+1} - \frac{6}{a-1}$

Общим знаменателем является $(a-1)(a^2+a+1)$. Приведем дроби к нему:

$\frac{4a^2-3a+5 - (1-2a)(a-1) - 6(a^2+a+1)}{(a-1)(a^2+a+1)}$

Раскроем скобки в числителе:

$4a^2-3a+5 - (a-1-2a^2+2a) - (6a^2+6a+6)$

$= 4a^2-3a+5 - (-2a^2+3a-1) - 6a^2-6a-6$

$= 4a^2-3a+5 + 2a^2-3a+1 - 6a^2-6a-6$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(4a^2+2a^2-6a^2) + (-3a-3a-6a) + (5+1-6) = 0 - 12a + 0 = -12a$

Подставим результат в дробь:

$\frac{-12a}{(a-1)(a^2+a+1)} = \frac{-12a}{a^3-1}$

Ответ: $\frac{-12a}{a^3-1}$

4) Упростим выражение $\frac{2a-1}{2a} - \frac{2a}{2a-1} - \frac{1}{2a-4a^2}$.

Преобразуем знаменатель последней дроби: $2a-4a^2 = 2a(1-2a) = -2a(2a-1)$.

Перепишем выражение:

$\frac{2a-1}{2a} - \frac{2a}{2a-1} - \frac{1}{-2a(2a-1)} = \frac{2a-1}{2a} - \frac{2a}{2a-1} + \frac{1}{2a(2a-1)}$

Общий знаменатель — $2a(2a-1)$. Приведем дроби к нему:

$\frac{(2a-1)(2a-1) - 2a \cdot 2a + 1}{2a(2a-1)}$

Раскроем скобки в числителе, используя формулу квадрата разности $(2a-1)^2 = 4a^2-4a+1$:

$\frac{(4a^2-4a+1) - 4a^2 + 1}{2a(2a-1)}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{4a^2-4a+1 - 4a^2 + 1}{2a(2a-1)} = \frac{-4a+2}{2a(2a-1)}$

Вынесем множитель $-2$ в числителе:

$\frac{-2(2a-1)}{2a(2a-1)}$

Сократим дробь на общий множитель $2(2a-1)$:

$-\frac{1}{a}$

Ответ: $-\frac{1}{a}$