Номер 6.48, страница 182 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 6.48-6.57 выполните указанные действия.

6.48. 1) $\frac{3}{x+y} - \frac{5}{x}$;

2) $\frac{4}{a-b} + \frac{1}{a}$;

3) $\frac{6}{m-1} - \frac{2}{m}$;

4) $\frac{1}{b+2} - \frac{3}{b}$.

1) Чтобы выполнить вычитание дробей, их необходимо привести к общему знаменателю. Для дробей $ \frac{3}{x+y} $ и $ \frac{5}{x} $ общим знаменателем является произведение их знаменателей, то есть $ x(x+y) $.

Домножим числитель и знаменатель первой дроби на $ x $ (дополнительный множитель), а числитель и знаменатель второй дроби на $ (x+y) $:

$ \frac{3}{x+y} - \frac{5}{x} = \frac{3 \cdot x}{x(x+y)} - \frac{5 \cdot (x+y)}{x(x+y)} $

Теперь, когда у дробей одинаковый знаменатель, выполним вычитание их числителей:

$ \frac{3x - 5(x+y)}{x(x+y)} = \frac{3x - 5x - 5y}{x(x+y)} = \frac{-2x - 5y}{x(x+y)} $

Можно также вынести знак минуса перед дробью:

$ -\frac{2x+5y}{x(x+y)} $

Ответ: $ \frac{-2x - 5y}{x(x+y)} $.

2) Для сложения дробей $ \frac{4}{a-b} $ и $ \frac{1}{a} $ найдем общий знаменатель, который равен $ a(a-b) $.

Приведем дроби к этому знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби — $ a $, для второй — $ (a-b) $:

$ \frac{4}{a-b} + \frac{1}{a} = \frac{4 \cdot a}{a(a-b)} + \frac{1 \cdot (a-b)}{a(a-b)} $

Сложим числители, оставив знаменатель без изменений:

$ \frac{4a + (a-b)}{a(a-b)} = \frac{4a + a - b}{a(a-b)} = \frac{5a - b}{a(a-b)} $

Ответ: $ \frac{5a - b}{a(a-b)} $.

3) Для вычитания дробей $ \frac{6}{m-1} $ и $ \frac{2}{m} $ приведем их к общему знаменателю $ m(m-1) $.

Умножим первую дробь на дополнительный множитель $ m $, а вторую — на $ (m-1) $:

$ \frac{6}{m-1} - \frac{2}{m} = \frac{6 \cdot m}{m(m-1)} - \frac{2 \cdot (m-1)}{m(m-1)} $

Выполним вычитание числителей:

$ \frac{6m - 2(m-1)}{m(m-1)} = \frac{6m - 2m + 2}{m(m-1)} = \frac{4m + 2}{m(m-1)} $

В числителе можно вынести за скобки общий множитель 2:

$ \frac{2(2m+1)}{m(m-1)} $

Ответ: $ \frac{4m + 2}{m(m-1)} $.

4) Чтобы найти разность дробей $ \frac{1}{b+2} $ и $ \frac{3}{b} $, найдем их общий знаменатель, который равен $ b(b+2) $.

Приведем дроби к общему знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби — $ b $, для второй — $ (b+2) $:

$ \frac{1}{b+2} - \frac{3}{b} = \frac{1 \cdot b}{b(b+2)} - \frac{3 \cdot (b+2)}{b(b+2)} $

Вычтем числители:

$ \frac{b - 3(b+2)}{b(b+2)} = \frac{b - 3b - 6}{b(b+2)} = \frac{-2b - 6}{b(b+2)} $

В числителе можно вынести за скобки общий множитель -2:

$ \frac{-2(b+3)}{b(b+2)} $

Ответ: $ \frac{-2b - 6}{b(b+2)} $.