Номер 6.44, страница 181 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.44. Упростите выражение:

1) $\frac{2a-3b}{a^2b} - \frac{4a-5b}{ab^2};$

2) $\frac{5x^2-3y}{x^2y} + \frac{6x-2y^2}{x^2y^2};$

3) $\frac{5(2a-b)}{8} - \frac{3(a-4b)}{2} + \frac{7(a-b)}{6};$

4) $\frac{(x+y)^2}{6} + \frac{(x-y)^2}{12} - \frac{x^2-y^2}{4}.$

1) $\frac{2a-3b}{a^2b} - \frac{4a-5b}{ab^2}$

Чтобы упростить это выражение, приведем дроби к общему знаменателю. Общим знаменателем для $a^2b$ и $ab^2$ является $a^2b^2$.

Домножим числитель и знаменатель первой дроби на $b$, а второй дроби на $a$:

$\frac{(2a-3b) \cdot b}{a^2b \cdot b} - \frac{(4a-5b) \cdot a}{ab^2 \cdot a} = \frac{2ab-3b^2}{a^2b^2} - \frac{4a^2-5ab}{a^2b^2}$

Теперь выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

$\frac{(2ab-3b^2) - (4a^2-5ab)}{a^2b^2} = \frac{2ab-3b^2-4a^2+5ab}{a^2b^2}$

Приведем подобные члены в числителе:

$\frac{7ab-4a^2-3b^2}{a^2b^2}$

Ответ: $\frac{7ab-4a^2-3b^2}{a^2b^2}$.

2) $\frac{5x^2-3y}{x^2y} + \frac{6x-2y^2}{x^2y^2}$

Найдем общий знаменатель для дробей. Общим знаменателем для $x^2y$ и $x^2y^2$ является $x^2y^2$.

Домножим числитель и знаменатель первой дроби на $y$. Вторая дробь уже имеет нужный знаменатель:

$\frac{(5x^2-3y) \cdot y}{x^2y \cdot y} + \frac{6x-2y^2}{x^2y^2} = \frac{5x^2y-3y^2}{x^2y^2} + \frac{6x-2y^2}{x^2y^2}$

Сложим дроби с одинаковыми знаменателями:

$\frac{(5x^2y-3y^2) + (6x-2y^2)}{x^2y^2} = \frac{5x^2y-3y^2+6x-2y^2}{x^2y^2}$

Приведем подобные члены в числителе:

$\frac{5x^2y+6x-5y^2}{x^2y^2}$

Ответ: $\frac{5x^2y+6x-5y^2}{x^2y^2}$.

3) $\frac{5(2a-b)}{8} - \frac{3(a-4b)}{2} + \frac{7(a-b)}{6}$

Найдем наименьший общий знаменатель для чисел 8, 2 и 6. НОК(8, 2, 6) = 24.

Приведем все дроби к знаменателю 24. Для этого домножим первую дробь на 3, вторую на 12, а третью на 4:

$\frac{3 \cdot 5(2a-b)}{24} - \frac{12 \cdot 3(a-4b)}{24} + \frac{4 \cdot 7(a-b)}{24}$

Раскроем скобки в числителях:

$\frac{15(2a-b)}{24} - \frac{36(a-4b)}{24} + \frac{28(a-b)}{24} = \frac{30a-15b}{24} - \frac{36a-144b}{24} + \frac{28a-28b}{24}$

Выполним действия с числителями:

$\frac{(30a-15b) - (36a-144b) + (28a-28b)}{24} = \frac{30a-15b-36a+144b+28a-28b}{24}$

Сгруппируем и приведем подобные члены:

$\frac{(30a-36a+28a) + (-15b+144b-28b)}{24} = \frac{22a + 101b}{24}$

Ответ: $\frac{22a+101b}{24}$.

4) $\frac{(x+y)^2}{6} + \frac{(x-y)^2}{12} - \frac{x^2-y^2}{4}$

Наименьший общий знаменатель для 6, 12 и 4 равен 12. Приведем все дроби к этому знаменателю. Домножим первую дробь на 2, а третью на 3:

$\frac{2(x+y)^2}{12} + \frac{(x-y)^2}{12} - \frac{3(x^2-y^2)}{12}$

Теперь раскроем скобки в числителях, используя формулы сокращенного умножения $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ и $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$:

$\frac{2(x^2+2xy+y^2)}{12} + \frac{x^2-2xy+y^2}{12} - \frac{3x^2-3y^2}{12}$

Объединим все под одной дробной чертой:

$\frac{(2x^2+4xy+2y^2) + (x^2-2xy+y^2) - (3x^2-3y^2)}{12}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные члены:

$\frac{2x^2+4xy+2y^2 + x^2-2xy+y^2 - 3x^2+3y^2}{12}$

$\frac{(2x^2+x^2-3x^2) + (4xy-2xy) + (2y^2+y^2+3y^2)}{12} = \frac{0 \cdot x^2 + 2xy + 6y^2}{12} = \frac{2xy+6y^2}{12}$

Вынесем общий множитель $2y$ в числителе и сократим дробь:

$\frac{2y(x+3y)}{12} = \frac{y(x+3y)}{6}$

Ответ: $\frac{y(x+3y)}{6}$.