Номер 6.40, страница 180 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.40. 1) $\frac{2a}{x^2} - \frac{3}{x}$

2) $\frac{5x}{a^2} - \frac{2y}{a^3}$

3) $\frac{1}{m^4n^3} + \frac{2}{m^3n^4}$

4) $\frac{3}{x^3y^3} - \frac{4}{x^4y^2}$

1) Чтобы выполнить вычитание дробей $\frac{2a}{x^2} - \frac{3}{x}$, необходимо привести их к общему знаменателю. Знаменатели дробей — $x^2$ и $x$. Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для них — $x^2$. Первая дробь уже имеет этот знаменатель. Для второй дроби $\frac{3}{x}$ дополнительным множителем является $x$. Умножим ее числитель и знаменатель на $x$: $\frac{3}{x} = \frac{3 \cdot x}{x \cdot x} = \frac{3x}{x^2}$. Теперь выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями: $\frac{2a}{x^2} - \frac{3x}{x^2} = \frac{2a - 3x}{x^2}$.

Ответ: $\frac{2a - 3x}{x^2}$.

2) Дано выражение $\frac{5x}{a^2} - \frac{2y}{a^3}$. Чтобы вычесть эти дроби, найдем их наименьший общий знаменатель. Для знаменателей $a^2$ и $a^3$ НОЗ будет $a^3$. Знаменатель второй дроби уже равен $a^3$. Для первой дроби $\frac{5x}{a^2}$ дополнительный множитель равен $a$. Умножим ее числитель и знаменатель на $a$: $\frac{5x}{a^2} = \frac{5x \cdot a}{a^2 \cdot a} = \frac{5ax}{a^3}$. Теперь выполним вычитание: $\frac{5ax}{a^3} - \frac{2y}{a^3} = \frac{5ax - 2y}{a^3}$.

Ответ: $\frac{5ax - 2y}{a^3}$.

3) Рассмотрим сумму дробей $\frac{1}{m^4n^3} + \frac{2}{m^3n^4}$. Знаменатели дробей — $m^4n^3$ и $m^3n^4$. Наименьший общий знаменатель находится как произведение каждой переменной в наивысшей степени, встречающейся в знаменателях. Таким образом, НОЗ равен $m^4n^4$. Дополнительный множитель для первой дроби $\frac{1}{m^4n^3}$ равен $n$. $\frac{1 \cdot n}{m^4n^3 \cdot n} = \frac{n}{m^4n^4}$. Дополнительный множитель для второй дроби $\frac{2}{m^3n^4}$ равен $m$. $\frac{2 \cdot m}{m^3n^4 \cdot m} = \frac{2m}{m^4n^4}$. Теперь сложим дроби: $\frac{n}{m^4n^4} + \frac{2m}{m^4n^4} = \frac{n + 2m}{m^4n^4}$.

Ответ: $\frac{2m + n}{m^4n^4}$.

4) Нужно выполнить вычитание $\frac{3}{x^3y^3} - \frac{4}{x^4y^2}$. Найдем наименьший общий знаменатель для $x^3y^3$ и $x^4y^2$. НОЗ будет $x^4y^3$. Определим дополнительные множители для каждой дроби. Для первой дроби $\frac{3}{x^3y^3}$ дополнительный множитель — $x$. $\frac{3 \cdot x}{x^3y^3 \cdot x} = \frac{3x}{x^4y^3}$. Для второй дроби $\frac{4}{x^4y^2}$ дополнительный множитель — $y$. $\frac{4 \cdot y}{x^4y^2 \cdot y} = \frac{4y}{x^4y^3}$. Теперь вычтем полученные дроби: $\frac{3x}{x^4y^3} - \frac{4y}{x^4y^3} = \frac{3x - 4y}{x^4y^3}$.

Ответ: $\frac{3x - 4y}{x^4y^3}$.