Номер 6.43, страница 181 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.43. Упростите выражение:

1) $\frac{a}{2x} - \frac{b}{3x^2}$;

2) $\frac{5x}{ab} + \frac{2y}{3a^2b} - \frac{3}{6a^2b^2}$;

3) $\frac{3x}{4a^2b} + \frac{5x}{2ab^2} - \frac{7}{6a^2b}$;

4) $\frac{5a}{6b^2c} - \frac{7b}{12ac^2} + \frac{11c}{18a^2b}$.

1) $\frac{a}{2x} - \frac{b}{3x^2}$

Чтобы выполнить вычитание дробей с разными знаменателями, их нужно привести к общему знаменателю. Общим знаменателем для дробей $\frac{a}{2x}$ и $\frac{b}{3x^2}$ является наименьшее общее кратное (НОК) их знаменателей $2x$ и $3x^2$.

НОК($2x, 3x^2$) = $6x^2$.

Найдём дополнительные множители для каждой дроби. Для первой дроби: $\frac{6x^2}{2x} = 3x$. Для второй дроби: $\frac{6x^2}{3x^2} = 2$.

Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель и выполним вычитание:

$\frac{a}{2x} - \frac{b}{3x^2} = \frac{a \cdot 3x}{2x \cdot 3x} - \frac{b \cdot 2}{3x^2 \cdot 2} = \frac{3ax}{6x^2} - \frac{2b}{6x^2} = \frac{3ax - 2b}{6x^2}$.

Ответ: $\frac{3ax - 2b}{6x^2}$.

2) $\frac{5x}{ab} + \frac{2y}{3a^2b} - \frac{3}{6a^2b^2}$

Сперва упростим третью дробь, сократив числитель и знаменатель на 3: $\frac{3}{6a^2b^2} = \frac{1}{2a^2b^2}$. Выражение примет вид: $\frac{5x}{ab} + \frac{2y}{3a^2b} - \frac{1}{2a^2b^2}$.

Теперь приведем дроби к общему знаменателю. Найдем НОК знаменателей $ab$, $3a^2b$ и $2a^2b^2$.

НОК($ab, 3a^2b, 2a^2b^2$) = $6a^2b^2$.

Дополнительный множитель для первой дроби $\frac{5x}{ab}$ равен $\frac{6a^2b^2}{ab} = 6ab$. Для второй дроби $\frac{2y}{3a^2b}$ он равен $\frac{6a^2b^2}{3a^2b} = 2b$. Для третьей дроби $\frac{1}{2a^2b^2}$ он равен $\frac{6a^2b^2}{2a^2b^2} = 3$.

Выполним преобразования:

$\frac{5x \cdot 6ab}{ab \cdot 6ab} + \frac{2y \cdot 2b}{3a^2b \cdot 2b} - \frac{1 \cdot 3}{2a^2b^2 \cdot 3} = \frac{30abx}{6a^2b^2} + \frac{4by}{6a^2b^2} - \frac{3}{6a^2b^2} = \frac{30abx + 4by - 3}{6a^2b^2}$.

Ответ: $\frac{30abx + 4by - 3}{6a^2b^2}$.

3) $\frac{3x}{4a^2b} + \frac{5x}{2ab^2} - \frac{7}{6a^2b}$

Для выполнения сложения и вычитания приведем дроби к общему знаменателю. Найдем НОК знаменателей $4a^2b$, $2ab^2$ и $6a^2b$. Общий знаменатель состоит из наивысших степеней всех множителей, входящих в знаменатели.

НОК($4, 2, 6$) = 12. НОК($a^2, a, a^2$) = $a^2$. НОК($b, b^2, b$) = $b^2$.

Следовательно, общий знаменатель: $12a^2b^2$.

Дополнительные множители: для $\frac{3x}{4a^2b}$ это $\frac{12a^2b^2}{4a^2b} = 3b$; для $\frac{5x}{2ab^2}$ это $\frac{12a^2b^2}{2ab^2} = 6a$; для $\frac{7}{6a^2b}$ это $\frac{12a^2b^2}{6a^2b} = 2b$.

Приведем дроби к общему знаменателю и выполним действия:

$\frac{3x \cdot 3b}{12a^2b^2} + \frac{5x \cdot 6a}{12a^2b^2} - \frac{7 \cdot 2b}{12a^2b^2} = \frac{9bx + 30ax - 14b}{12a^2b^2}$.

Упорядочим слагаемые в числителе для стандартного вида: $\frac{30ax + 9bx - 14b}{12a^2b^2}$.

Ответ: $\frac{30ax + 9bx - 14b}{12a^2b^2}$.

4) $\frac{5a}{6b^2c} - \frac{7b}{12ac^2} + \frac{11c}{18a^2b}$

Найдем общий знаменатель для дробей. Для этого найдем НОК знаменателей $6b^2c$, $12ac^2$ и $18a^2b$.

НОК числовых коэффициентов (6, 12, 18) = 36.

НОК переменных частей ($b^2c, ac^2, a^2b$) = $a^2b^2c^2$.

Таким образом, общий знаменатель равен $36a^2b^2c^2$.

Дополнительные множители: для $\frac{5a}{6b^2c}$ это $\frac{36a^2b^2c^2}{6b^2c} = 6a^2c$; для $\frac{7b}{12ac^2}$ это $\frac{36a^2b^2c^2}{12ac^2} = 3ab^2$; для $\frac{11c}{18a^2b}$ это $\frac{36a^2b^2c^2}{18a^2b} = 2bc^2$.

Преобразуем выражение:

$\frac{5a \cdot 6a^2c}{36a^2b^2c^2} - \frac{7b \cdot 3ab^2}{36a^2b^2c^2} + \frac{11c \cdot 2bc^2}{36a^2b^2c^2} = \frac{30a^3c}{36a^2b^2c^2} - \frac{21ab^3}{36a^2b^2c^2} + \frac{22bc^3}{36a^2b^2c^2}$.

Объединим дроби, выполнив действия с числителями:

$\frac{30a^3c - 21ab^3 + 22bc^3}{36a^2b^2c^2}$.

Ответ: $\frac{30a^3c - 21ab^3 + 22bc^3}{36a^2b^2c^2}$.