Номер 6.50, страница 182 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.50. 1) $\frac{1}{2a-b} - \frac{1}{2a+b}$;

2) $\frac{1}{3m-n} + \frac{1}{3m+n}$;

3) $\frac{5}{x-y} - \frac{3}{x+y}$;

4) $\frac{4}{p+q} + \frac{2}{p-q}$.

1) Чтобы выполнить вычитание дробей $ \frac{1}{2a-b} - \frac{1}{2a+b} $, необходимо привести их к общему знаменателю. Общим знаменателем для данных дробей является произведение их знаменателей: $ (2a-b)(2a+b) $.

Приведем каждую дробь к новому знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби $ \frac{1}{2a-b} $ равен $ (2a+b) $. Дополнительный множитель для второй дроби $ \frac{1}{2a+b} $ равен $ (2a-b) $.

$ \frac{1}{2a-b} - \frac{1}{2a+b} = \frac{1 \cdot (2a+b)}{(2a-b)(2a+b)} - \frac{1 \cdot (2a-b)}{(2a-b)(2a+b)} = \frac{(2a+b) - (2a-b)}{(2a-b)(2a+b)} $

Теперь упростим числитель, раскрыв скобки:

$ (2a+b) - (2a-b) = 2a + b - 2a + b = 2b $

Знаменатель можно упростить, используя формулу разности квадратов $ (x-y)(x+y) = x^2 - y^2 $:

$ (2a-b)(2a+b) = (2a)^2 - b^2 = 4a^2 - b^2 $

Таким образом, итоговое выражение имеет вид:

$ \frac{2b}{4a^2-b^2} $

Ответ: $ \frac{2b}{4a^2-b^2} $.

2) Чтобы сложить дроби $ \frac{1}{3m-n} + \frac{1}{3m+n} $, приведем их к общему знаменателю, который равен $ (3m-n)(3m+n) $.

Дополнительный множитель для первой дроби — $ (3m+n) $, для второй — $ (3m-n) $.

$ \frac{1}{3m-n} + \frac{1}{3m+n} = \frac{1 \cdot (3m+n)}{(3m-n)(3m+n)} + \frac{1 \cdot (3m-n)}{(3m-n)(3m+n)} = \frac{(3m+n) + (3m-n)}{(3m-n)(3m+n)} $

Упростим числитель:

$ (3m+n) + (3m-n) = 3m + n + 3m - n = 6m $

Упростим знаменатель по формуле разности квадратов:

$ (3m-n)(3m+n) = (3m)^2 - n^2 = 9m^2 - n^2 $

Получаем следующий результат:

$ \frac{6m}{9m^2-n^2} $

Ответ: $ \frac{6m}{9m^2-n^2} $.

3) Для вычитания $ \frac{5}{x-y} - \frac{3}{x+y} $ найдем общий знаменатель, который равен $ (x-y)(x+y) $.

Домножим числитель и знаменатель первой дроби на $ (x+y) $, а второй — на $ (x-y) $.

$ \frac{5}{x-y} - \frac{3}{x+y} = \frac{5(x+y)}{(x-y)(x+y)} - \frac{3(x-y)}{(x-y)(x+y)} = \frac{5(x+y) - 3(x-y)}{(x-y)(x+y)} $

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$ 5(x+y) - 3(x-y) = 5x + 5y - 3x + 3y = (5x-3x) + (5y+3y) = 2x + 8y $

Знаменатель упрощается по формуле разности квадратов:

$ (x-y)(x+y) = x^2 - y^2 $

Итоговое выражение:

$ \frac{2x+8y}{x^2-y^2} $

Ответ: $ \frac{2x+8y}{x^2-y^2} $.

4) Для сложения дробей $ \frac{4}{p+q} + \frac{2}{p-q} $ приведем их к общему знаменателю $ (p+q)(p-q) $.

Дополнительный множитель для первой дроби — $ (p-q) $, для второй — $ (p+q) $.

$ \frac{4}{p+q} + \frac{2}{p-q} = \frac{4(p-q)}{(p+q)(p-q)} + \frac{2(p+q)}{(p+q)(p-q)} = \frac{4(p-q) + 2(p+q)}{(p+q)(p-q)} $

Упростим числитель, раскрыв скобки:

$ 4(p-q) + 2(p+q) = 4p - 4q + 2p + 2q = (4p+2p) + (-4q+2q) = 6p - 2q $

Знаменатель является разностью квадратов:

$ (p+q)(p-q) = p^2 - q^2 $

В результате получаем:

$ \frac{6p-2q}{p^2-q^2} $

Ответ: $ \frac{6p-2q}{p^2-q^2} $.