Номер 6.55, страница 183 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.55. 1) $ \frac{1}{6x-4y} - \frac{1}{6x+4y} - \frac{3x}{4y^2-9x^2} $

2) $ \frac{3a+2}{a^2-2a+1} - \frac{6}{a^2-1} - \frac{3a-2}{a^2+2a+1} $

3) $ \frac{3}{x^2+2xy+y^2} - \frac{4}{x^2-2xy+y^2} + \frac{5}{x^2-y^2} $

4) $ \frac{1}{a-b} - \frac{3ab}{a^3-b^3} - \frac{b-a}{a^2+ab+b^2} $

1) Чтобы упростить выражение, приведем дроби к общему знаменателю. Сначала разложим знаменатели на множители:

$ \frac{1}{6x-4y} - \frac{1}{6x+4y} - \frac{3x}{4y^2-9x^2} = \frac{1}{2(3x-2y)} - \frac{1}{2(3x+2y)} - \frac{3x}{(2y-3x)(2y+3x)} $

Обратим внимание, что $ (2y-3x) = -(3x-2y) $. Используем это, чтобы изменить знак перед третьей дробью:

$ \frac{1}{2(3x-2y)} - \frac{1}{2(3x+2y)} - \frac{3x}{-(3x-2y)(3x+2y)} = \frac{1}{2(3x-2y)} - \frac{1}{2(3x+2y)} + \frac{3x}{(3x-2y)(3x+2y)} $

Общий знаменатель для дробей: $ 2(3x-2y)(3x+2y) $. Приводим дроби к этому знаменателю:

$ \frac{1 \cdot (3x+2y)}{2(3x-2y)(3x+2y)} - \frac{1 \cdot (3x-2y)}{2(3x-2y)(3x+2y)} + \frac{3x \cdot 2}{2(3x-2y)(3x+2y)} $

Объединяем числители:

$ \frac{(3x+2y) - (3x-2y) + 6x}{2(3x-2y)(3x+2y)} = \frac{3x+2y-3x+2y+6x}{2(3x-2y)(3x+2y)} = \frac{6x+4y}{2(3x-2y)(3x+2y)} $

Вынесем общий множитель в числителе и сократим дробь:

$ \frac{2(3x+2y)}{2(3x-2y)(3x+2y)} = \frac{1}{3x-2y} $

Ответ: $ \frac{1}{3x-2y} $

2) Разложим знаменатели на множители, используя формулы сокращенного умножения:

$ a^2-2a+1 = (a-1)^2 $

$ a^2-1 = (a-1)(a+1) $

$ a^2+2a+1 = (a+1)^2 $

Выражение принимает вид:

$ \frac{3a+2}{(a-1)^2} - \frac{6}{(a-1)(a+1)} - \frac{3a-2}{(a+1)^2} $

Общий знаменатель: $ (a-1)^2(a+1)^2 $. Приведем дроби к нему:

$ \frac{(3a+2)(a+1)^2}{(a-1)^2(a+1)^2} - \frac{6(a-1)(a+1)}{(a-1)^2(a+1)^2} - \frac{(3a-2)(a-1)^2}{(a-1)^2(a+1)^2} $

Запишем все под одной чертой и раскроем скобки в числителе. Знаменатель можно записать как $ (a^2-1)^2 $.

$ \frac{(3a+2)(a^2+2a+1) - 6(a^2-1) - (3a-2)(a^2-2a+1)}{(a^2-1)^2} $

$ \frac{(3a^3+6a^2+3a+2a^2+4a+2) - (6a^2-6) - (3a^3-6a^2+3a-2a^2+4a-2)}{(a^2-1)^2} $

Упростим выражения в скобках:

$ \frac{(3a^3+8a^2+7a+2) - (6a^2-6) - (3a^3-8a^2+7a-2)}{(a^2-1)^2} $

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{3a^3+8a^2+7a+2 - 6a^2+6 - 3a^3+8a^2-7a+2}{(a^2-1)^2} $

$ \frac{(3a^3-3a^3) + (8a^2-6a^2+8a^2) + (7a-7a) + (2+6+2)}{(a^2-1)^2} = \frac{10a^2+10}{(a^2-1)^2} $

Вынесем общий множитель в числителе:

$ \frac{10(a^2+1)}{(a^2-1)^2} $

Ответ: $ \frac{10(a^2+1)}{(a^2-1)^2} $

3) Разложим знаменатели на множители:

$ x^2+2xy+y^2 = (x+y)^2 $

$ x^2-2xy+y^2 = (x-y)^2 $

$ x^2-y^2 = (x-y)(x+y) $

Исходное выражение: $ \frac{3}{(x+y)^2} - \frac{4}{(x-y)^2} + \frac{5}{(x-y)(x+y)} $

Общий знаменатель: $ (x-y)^2(x+y)^2 $. Приводим к нему дроби:

$ \frac{3(x-y)^2}{(x-y)^2(x+y)^2} - \frac{4(x+y)^2}{(x-y)^2(x+y)^2} + \frac{5(x-y)(x+y)}{(x-y)^2(x+y)^2} $

Объединим числители и раскроем скобки. Знаменатель запишем как $ (x^2-y^2)^2 $.

$ \frac{3(x^2-2xy+y^2) - 4(x^2+2xy+y^2) + 5(x^2-y^2)}{(x^2-y^2)^2} $

$ \frac{3x^2-6xy+3y^2 - 4x^2-8xy-4y^2 + 5x^2-5y^2}{(x^2-y^2)^2} $

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{(3x^2-4x^2+5x^2) + (-6xy-8xy) + (3y^2-4y^2-5y^2)}{(x^2-y^2)^2} $

$ \frac{4x^2 - 14xy - 6y^2}{(x^2-y^2)^2} $

Ответ: $ \frac{4x^2 - 14xy - 6y^2}{(x^2-y^2)^2} $

4) Разложим знаменатель второй дроби по формуле разности кубов $ a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) $. Также заметим, что в числителе третьей дроби $ b-a = -(a-b) $.

$ \frac{1}{a-b} - \frac{3ab}{a^3-b^3} - \frac{b-a}{a^2+ab+b^2} = \frac{1}{a-b} - \frac{3ab}{(a-b)(a^2+ab+b^2)} - \frac{-(a-b)}{a^2+ab+b^2} $

Минус на минус дает плюс:

$ \frac{1}{a-b} - \frac{3ab}{(a-b)(a^2+ab+b^2)} + \frac{a-b}{a^2+ab+b^2} $

Общий знаменатель: $ (a-b)(a^2+ab+b^2) $, что равно $ a^3-b^3 $. Приводим к нему дроби:

$ \frac{1 \cdot (a^2+ab+b^2)}{a^3-b^3} - \frac{3ab}{a^3-b^3} + \frac{(a-b) \cdot (a-b)}{a^3-b^3} $

Объединяем числители:

$ \frac{(a^2+ab+b^2) - 3ab + (a-b)^2}{a^3-b^3} $

Раскроем квадрат разности $ (a-b)^2 = a^2-2ab+b^2 $ и приведем подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{a^2+ab+b^2 - 3ab + a^2-2ab+b^2}{a^3-b^3} $

$ \frac{(a^2+a^2) + (ab-3ab-2ab) + (b^2+b^2)}{a^3-b^3} = \frac{2a^2 - 4ab + 2b^2}{a^3-b^3} $

Вынесем общий множитель 2 в числителе и свернем его по формуле квадрата разности:

$ \frac{2(a^2 - 2ab + b^2)}{a^3-b^3} = \frac{2(a-b)^2}{(a-b)(a^2+ab+b^2)} $

Сократим дробь на $ (a-b) $:

$ \frac{2(a-b)}{a^2+ab+b^2} $

Ответ: $ \frac{2(a-b)}{a^2+ab+b^2} $