Номер 6.52, страница 182 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.52. 1) $\frac{7a}{x^2 - 9} + \frac{5a}{x - 3} + \frac{a}{x + 3};$

2) $\frac{4}{x + 2} + \frac{3}{x - 2} - \frac{x + 2}{x^2 - 4};$

3) $\frac{a}{1 - b} - \frac{a}{1 + b} + \frac{a}{1 - b^2};$

4) $\frac{1}{a + 2} + \frac{1}{a - 2} - \frac{4}{a^2 - 4}.$

1) Чтобы сложить дроби $\frac{7a}{x^2-9} + \frac{5a}{x-3} + \frac{a}{x+3}$, приведем их к общему знаменателю. Для этого сначала разложим на множители знаменатель первой дроби, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.

$\frac{7a}{(x-3)(x+3)} + \frac{5a}{x-3} + \frac{a}{x+3}$

Общий знаменатель для этих дробей — это $(x-3)(x+3)$. Домножим вторую дробь на $(x+3)$, а третью на $(x-3)$.

$\frac{7a}{(x-3)(x+3)} + \frac{5a(x+3)}{(x-3)(x+3)} + \frac{a(x-3)}{(x-3)(x+3)}$

Теперь сложим числители, оставив знаменатель без изменений:

$\frac{7a + 5a(x+3) + a(x-3)}{(x-3)(x+3)} = \frac{7a + 5ax + 15a + ax - 3a}{(x-3)(x+3)}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(5ax+ax) + (7a+15a-3a)}{(x-3)(x+3)} = \frac{6ax + 19a}{(x-3)(x+3)}$

Вынесем общий множитель $a$ за скобки в числителе:

$\frac{a(6x+19)}{x^2-9}$

Ответ: $\frac{a(6x+19)}{x^2-9}$.

2) Рассмотрим выражение $\frac{4}{x+2} + \frac{3}{x-2} - \frac{x+2}{x^2-4}$.

Разложим знаменатель последней дроби на множители: $x^2-4 = (x-2)(x+2)$.

$\frac{4}{x+2} + \frac{3}{x-2} - \frac{x+2}{(x-2)(x+2)}$

Общий знаменатель — $(x-2)(x+2)$. Приведем все дроби к этому знаменателю. Домножим первую дробь на $(x-2)$, а вторую на $(x+2)$.

$\frac{4(x-2)}{(x-2)(x+2)} + \frac{3(x+2)}{(x-2)(x+2)} - \frac{x+2}{(x-2)(x+2)}$

Выполним действия с числителями:

$\frac{4(x-2) + 3(x+2) - (x+2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{4x - 8 + 3x + 6 - x - 2}{(x-2)(x+2)}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(4x+3x-x) + (-8+6-2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{6x - 4}{(x-2)(x+2)}$

Вынесем общий множитель 2 за скобки в числителе:

$\frac{2(3x-2)}{x^2-4}$

Ответ: $\frac{2(3x-2)}{x^2-4}$.

3) Упростим выражение $\frac{a}{1-b} - \frac{a}{1+b} + \frac{a}{1-b^2}$.

Знаменатель последней дроби $1-b^2$ можно разложить как $(1-b)(1+b)$. Это и будет общий знаменатель.

$\frac{a}{1-b} - \frac{a}{1+b} + \frac{a}{(1-b)(1+b)}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Домножим первую дробь на $(1+b)$, а вторую на $(1-b)$.

$\frac{a(1+b)}{(1-b)(1+b)} - \frac{a(1-b)}{(1-b)(1+b)} + \frac{a}{(1-b)(1+b)}$

Объединим дроби:

$\frac{a(1+b) - a(1-b) + a}{(1-b)(1+b)} = \frac{a + ab - (a - ab) + a}{1-b^2}$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{a + ab - a + ab + a}{1-b^2} = \frac{a + 2ab}{1-b^2}$

Вынесем $a$ за скобки в числителе:

$\frac{a(1+2b)}{1-b^2}$

Ответ: $\frac{a(1+2b)}{1-b^2}$.

4) Упростим выражение $\frac{1}{a+2} + \frac{1}{a-2} - \frac{4}{a^2-4}$.

Разложим знаменатель последней дроби на множители: $a^2-4 = (a-2)(a+2)$.

$\frac{1}{a+2} + \frac{1}{a-2} - \frac{4}{(a-2)(a+2)}$

Общий знаменатель — $(a-2)(a+2)$. Приведем к нему все дроби.

$\frac{1(a-2)}{(a-2)(a+2)} + \frac{1(a+2)}{(a-2)(a+2)} - \frac{4}{(a-2)(a+2)}$

Выполним действия в числителе:

$\frac{(a-2) + (a+2) - 4}{(a-2)(a+2)} = \frac{a - 2 + a + 2 - 4}{(a-2)(a+2)}$

Приведем подобные слагаемые:

$\frac{2a - 4}{(a-2)(a+2)}$

Вынесем в числителе 2 за скобки:

$\frac{2(a-2)}{(a-2)(a+2)}$

Сократим дробь на $(a-2)$, при условии, что $a \neq 2$.

$\frac{2}{a+2}$

Ответ: $\frac{2}{a+2}$.