Номер 6.51, страница 182 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.51. 1) $\frac{2m}{5m+5n} + \frac{3n}{5m-5n}$;

2) $\frac{7x}{3x+3y} - \frac{2x}{3x-3y}$;

3) $\frac{5b}{ax+ay} - \frac{2a}{bx+by}$;

4) $\frac{3x}{4x+4y} - \frac{6x}{8x+8y}$.

1) Дано выражение $\frac{2m}{5m+5n} + \frac{3n}{5m-5n}$.

Для сложения дробей их нужно привести к общему знаменателю. Сначала разложим знаменатели на множители, вынеся общий множитель за скобки:

$5m+5n = 5(m+n)$

$5m-5n = 5(m-n)$

Теперь выражение выглядит так: $\frac{2m}{5(m+n)} + \frac{3n}{5(m-n)}$.

Наименьшим общим знаменателем будет произведение всех уникальных множителей: $5(m+n)(m-n)$.

Приведем каждую дробь к этому знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби — $(m-n)$, а для второй — $(m+n)$:

$\frac{2m(m-n)}{5(m+n)(m-n)} + \frac{3n(m+n)}{5(m+n)(m-n)}$

Теперь, когда знаменатели одинаковы, можно сложить числители:

$\frac{2m(m-n) + 3n(m+n)}{5(m+n)(m-n)}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$2m^2 - 2mn + 3mn + 3n^2 = 2m^2 + mn + 3n^2$

Подставим упрощенный числитель обратно в дробь. Знаменатель можно записать в более компактном виде, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$:

$\frac{2m^2 + mn + 3n^2}{5(m^2-n^2)}$

Ответ: $\frac{2m^2 + mn + 3n^2}{5(m^2-n^2)}$

2) Рассмотрим выражение $\frac{7x}{3x+3y} - \frac{2x}{3x-3y}$.

Для вычитания дробей приведем их к общему знаменателю. Для этого сначала разложим знаменатели на множители:

$3x+3y = 3(x+y)$

$3x-3y = 3(x-y)$

Выражение примет вид: $\frac{7x}{3(x+y)} - \frac{2x}{3(x-y)}$.

Общий знаменатель равен $3(x+y)(x-y)$.

Приведем дроби к общему знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби — $(x-y)$, для второй — $(x+y)$:

$\frac{7x(x-y)}{3(x+y)(x-y)} - \frac{2x(x+y)}{3(x+y)(x-y)}$

Выполним вычитание числителей:

$\frac{7x(x-y) - 2x(x+y)}{3(x+y)(x-y)}$

Упростим выражение в числителе, раскрыв скобки и приведя подобные члены:

$7x(x-y) - 2x(x+y) = 7x^2 - 7xy - (2x^2 + 2xy) = 7x^2 - 7xy - 2x^2 - 2xy = 5x^2 - 9xy$.

Подставим результат в дробь. Знаменатель можно записать как $3(x^2-y^2)$:

$\frac{5x^2 - 9xy}{3(x^2-y^2)}$

Ответ: $\frac{5x^2 - 9xy}{3(x^2-y^2)}$

3) Решим пример $\frac{5b}{ax+ay} - \frac{2a}{bx+by}$.

Вынесем общие множители в знаменателях за скобки:

$ax+ay = a(x+y)$

$bx+by = b(x+y)$

Получим следующее выражение: $\frac{5b}{a(x+y)} - \frac{2a}{b(x+y)}$.

Наименьший общий знаменатель для этих дробей — $ab(x+y)$.

Приведем дроби к этому знаменателю. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на $b$, а второй — на $a$.

$\frac{5b \cdot b}{a(x+y) \cdot b} - \frac{2a \cdot a}{b(x+y) \cdot a} = \frac{5b^2}{ab(x+y)} - \frac{2a^2}{ab(x+y)}$

Теперь выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

$\frac{5b^2 - 2a^2}{ab(x+y)}$

Числитель $5b^2 - 2a^2$ не раскладывается на более простые множители, поэтому это окончательный вид.

Ответ: $\frac{5b^2 - 2a^2}{ab(x+y)}$

4) Рассмотрим выражение $\frac{3x}{4x+4y} - \frac{6x}{8x+8y}$.

Разложим знаменатели на множители:

$4x+4y = 4(x+y)$

$8x+8y = 8(x+y)$

Выражение примет вид: $\frac{3x}{4(x+y)} - \frac{6x}{8(x+y)}$.

Заметим, что вторую дробь можно сократить на 2:

$\frac{6x}{8(x+y)} = \frac{3 \cdot 2x}{4 \cdot 2(x+y)} = \frac{3x}{4(x+y)}$

Теперь исходное выражение можно переписать так:

$\frac{3x}{4(x+y)} - \frac{3x}{4(x+y)}$

Мы вычитаем из дроби точно такую же дробь, поэтому результат равен нулю.

$\frac{3x - 3x}{4(x+y)} = \frac{0}{4(x+y)} = 0$

Это верно при условии, что знаменатель не равен нулю, то есть $x+y \neq 0$.

Ответ: $0$