Номер 6.57, страница 183 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.57*. 1) $\frac{1}{a(a-b)(a-c)} + \frac{1}{b(b-a)(b-c)} + \frac{1}{c(c-a)(c-b)}$

2) $\frac{x^2}{(x-y)(x-u)} + \frac{y^2}{(y-x)(y-u)} + \frac{u^2}{(u-x)(u-y)}$

1) Исходное выражение:

$$ \frac{1}{a(a-b)(a-c)} + \frac{1}{b(b-a)(b-c)} + \frac{1}{c(c-a)(c-b)} $$

Для приведения дробей к общему знаменателю преобразуем множители в знаменателях второй и третьей дробей. Воспользуемся тождествами: $b-a = -(a-b)$, $c-a = -(a-c)$ и $c-b = -(b-c)$.

Преобразуем знаменатель второй дроби:

$b(b-a)(b-c) = b(-(a-b))(b-c) = -b(a-b)(b-c)$.

Следовательно, вторая дробь равна $-\frac{1}{b(a-b)(b-c)}$.

Преобразуем знаменатель третьей дроби:

$c(c-a)(c-b) = c(-(a-c))(-(b-c)) = c(a-c)(b-c)$.

Следовательно, третья дробь равна $\frac{1}{c(a-c)(b-c)}$.

Теперь выражение можно переписать в виде:

$$ \frac{1}{a(a-b)(a-c)} - \frac{1}{b(a-b)(b-c)} + \frac{1}{c(a-c)(b-c)} $$

Общим знаменателем для этих дробей является $abc(a-b)(a-c)(b-c)$. Приведем все дроби к этому знаменателю:

$$ \frac{bc(b-c)}{abc(a-b)(a-c)(b-c)} - \frac{ac(a-c)}{abc(a-b)(a-c)(b-c)} + \frac{ab(a-b)}{abc(a-b)(a-c)(b-c)} $$

Объединим дроби, сложив их числители:

$$ \frac{bc(b-c) - ac(a-c) + ab(a-b)}{abc(a-b)(a-c)(b-c)} $$

Теперь упростим числитель. Раскроем скобки:

$bc(b-c) - ac(a-c) + ab(a-b) = (b^2c - bc^2) - (a^2c - ac^2) + (a^2b - ab^2) = a^2b - ab^2 - a^2c + ac^2 + b^2c - bc^2$.

Сгруппируем слагаемые по степеням переменной $a$:

$= a^2(b-c) - a(b^2-c^2) + (b^2c - bc^2)$

Разложим $b^2-c^2$ как разность квадратов и вынесем общие множители:

$= a^2(b-c) - a(b-c)(b+c) + bc(b-c)$

Вынесем за скобки общий множитель $(b-c)$:

$= (b-c)[a^2 - a(b+c) + bc]$

Раскроем скобки внутри квадратных скобок и сгруппируем:

$= (b-c)[a^2 - ab - ac + bc] = (b-c)[(a^2 - ab) - (ac - bc)] = (b-c)[a(a-b) - c(a-b)]$.

Вынесем множитель $(a-b)$:

$= (a-b)(b-c)(a-c)$.

Подставим полученное выражение для числителя обратно в дробь:

$$ \frac{(a-b)(b-c)(a-c)}{abc(a-b)(a-c)(b-c)} $$

Сокращаем одинаковые множители $(a-b)$, $(b-c)$, и $(a-c)$ в числителе и знаменателе:

$$ \frac{1}{abc} $$

Ответ: $\frac{1}{abc}$

2) Исходное выражение:

$$ \frac{x^2}{(x-y)(x-u)} + \frac{y^2}{(y-x)(y-u)} + \frac{u^2}{(u-x)(u-y)} $$

Преобразуем знаменатели дробей, чтобы использовать одинаковые множители. Воспользуемся тождествами: $y-x = -(x-y)$, $u-x = -(x-u)$ и $u-y = -(y-u)$.

Знаменатель второй дроби: $(y-x)(y-u) = -(x-y)(y-u)$.

Знаменатель третьей дроби: $(u-x)(u-y) = (-(x-u))(-(y-u)) = (x-u)(y-u)$.

Перепишем выражение с новыми знаменателями:

$$ \frac{x^2}{(x-y)(x-u)} - \frac{y^2}{(x-y)(y-u)} + \frac{u^2}{(x-u)(y-u)} $$

Общий знаменатель для этих дробей - $(x-y)(x-u)(y-u)$. Приведем все дроби к нему:

$$ \frac{x^2(y-u)}{(x-y)(x-u)(y-u)} - \frac{y^2(x-u)}{(x-y)(x-u)(y-u)} + \frac{u^2(x-y)}{(x-y)(x-u)(y-u)} $$

Объединим дроби:

$$ \frac{x^2(y-u) - y^2(x-u) + u^2(x-y)}{(x-y)(x-u)(y-u)} $$

Упростим числитель. Раскроем скобки:

$x^2(y-u) - y^2(x-u) + u^2(x-y) = x^2y - x^2u - xy^2 + y^2u + u^2x - u^2y$.

Сгруппируем слагаемые по степеням переменной $x$:

$= x^2(y-u) - x(y^2-u^2) + (y^2u - u^2y)$

Разложим $y^2-u^2$ как разность квадратов и вынесем общие множители:

$= x^2(y-u) - x(y-u)(y+u) + yu(y-u)$

Вынесем за скобки общий множитель $(y-u)$:

$= (y-u)[x^2 - x(y+u) + yu]$

Раскроем скобки внутри квадратных скобок и сгруппируем:

$= (y-u)[x^2 - xy - xu + yu] = (y-u)[(x^2 - xy) - (xu - yu)] = (y-u)[x(x-y) - u(x-y)]$.

Вынесем множитель $(x-y)$:

$= (x-y)(y-u)(x-u)$.

Подставим полученное выражение для числителя обратно в дробь:

$$ \frac{(x-y)(y-u)(x-u)}{(x-y)(x-u)(y-u)} $$

Сокращаем одинаковые множители в числителе и знаменателе:

$$ \frac{(x-y)(y-u)(x-u)}{(x-y)(y-u)(x-u)} = 1 $$

Ответ: $1$