Номер 6.62, страница 184 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.62. Найдите отношение суммы кубов трех последовательных натуральных чисел минус утроенное произведение этих чисел к среднему арифметическому данных чисел.

Обозначим три последовательных натуральных числа как $n-1$, $n$ и $n+1$, где $n$ — натуральное число, для которого $n \ge 2$.

Найдем числитель искомого отношения. Это «сумма кубов трех последовательных натуральных чисел минус утроенное произведение этих чисел». Обозначим это выражение как $A$:

$A = ((n-1)^3 + n^3 + (n+1)^3) - 3(n-1)n(n+1)$.

Для упрощения этого выражения можно воспользоваться тождеством $a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$.

Применим это тождество, положив $a=n-1$, $b=n$, $c=n+1$.

Сначала найдем значение множителя $(a+b+c)$:

$a+b+c = (n-1)+n+(n+1) = 3n$.

Затем найдем значение второго множителя $(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$. Для этого вычислим его части:

Сумма квадратов: $a^2+b^2+c^2 = (n-1)^2+n^2+(n+1)^2 = (n^2-2n+1) + n^2 + (n^2+2n+1) = 3n^2+2$.

Сумма попарных произведений: $ab+bc+ca = n(n-1) + n(n+1) + (n-1)(n+1) = (n^2-n) + (n^2+n) + (n^2-1) = 3n^2-1$.

Тогда второй множитель равен: $(3n^2+2) - (3n^2-1) = 3n^2+2-3n^2+1 = 3$.

Теперь, перемножив оба множителя, найдем значение числителя $A$:

$A = (3n) \cdot 3 = 9n$.

Далее найдем знаменатель отношения — «среднее арифметическое данных чисел». Обозначим его как $B$:

$B = \frac{(n-1) + n + (n+1)}{3} = \frac{3n}{3} = n$.

Наконец, вычислим искомое отношение, разделив числитель $A$ на знаменатель $B$:

$\frac{A}{B} = \frac{9n}{n} = 9$.

Ответ: 9