Номер 6.56, страница 183 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.56*. 1) $\frac{1}{(a-b)(b-c)} - \frac{1}{(b-c)(a-c)} - \frac{1}{(c-a)(b-a)};$

2) $\frac{x-y}{(z-x)(z-y)} - \frac{y-z}{(x-y)(x-z)} + \frac{z-x}{(y-x)(y-z)}.$

1) Дано выражение: $ \frac{1}{(a-b)(b-c)} - \frac{1}{(b-c)(a-c)} - \frac{1}{(c-a)(b-a)} $.

Чтобы упростить выражение, приведем все дроби к общему знаменателю. Для этого преобразуем знаменатели, используя свойство $ x-y = -(y-x) $.

Знаменатель третьей дроби: $ (c-a)(b-a) = (-(a-c))(-(a-b)) = (a-c)(a-b) $.

Теперь выражение выглядит так:

$ \frac{1}{(a-b)(b-c)} - \frac{1}{(b-c)(a-c)} - \frac{1}{(a-c)(a-b)} $

Общий знаменатель для этих дробей — $ (a-b)(b-c)(a-c) $.

Приведем каждую дробь к общему знаменателю, домножив числитель и знаменатель на недостающие множители:

- Для первой дроби дополнительный множитель $ (a-c) $.

- Для второй дроби дополнительный множитель $ (a-b) $.

- Для третьей дроби дополнительный множитель $ (b-c) $.

Получаем:

$ \frac{a-c}{(a-b)(b-c)(a-c)} - \frac{a-b}{(a-b)(b-c)(a-c)} - \frac{b-c}{(a-b)(b-c)(a-c)} $

Объединим числители под общим знаменателем:

$ \frac{(a-c) - (a-b) - (b-c)}{(a-b)(b-c)(a-c)} $

Раскроем скобки в числителе и упростим его:

$ a - c - a + b - b + c = (a-a) + (b-b) + (-c+c) = 0 $

Таким образом, все выражение равно:

$ \frac{0}{(a-b)(b-c)(a-c)} = 0 $

Ответ: $0$

2) Дано выражение: $ \frac{x-y}{(z-x)(z-y)} - \frac{y-z}{(x-y)(x-z)} + \frac{z-x}{(y-x)(y-z)} $.

Для упрощения приведем все дроби к общему знаменателю. Сначала преобразуем знаменатели так, чтобы они содержали множители в циклическом порядке: $ (x-y), (y-z), (z-x) $.

- Первый знаменатель: $ (z-x)(z-y) = (z-x)(-(y-z)) = -(y-z)(z-x) $.

- Второй знаменатель: $ (x-y)(x-z) = (x-y)(-(z-x)) = -(x-y)(z-x) $.

- Третий знаменатель: $ (y-x)(y-z) = (-(x-y))(y-z) = -(x-y)(y-z) $.

Подставим преобразованные знаменатели в исходное выражение, вынося знаки "минус" перед дробями:

$ \frac{x-y}{-(y-z)(z-x)} - \frac{y-z}{-(x-y)(z-x)} + \frac{z-x}{-(x-y)(y-z)} $

$ = -\frac{x-y}{(y-z)(z-x)} + \frac{y-z}{(x-y)(z-x)} - \frac{z-x}{(x-y)(y-z)} $

Общий знаменатель — $ (x-y)(y-z)(z-x) $. Приведем дроби к этому знаменателю:

$ \frac{-(x-y)(x-y)}{(x-y)(y-z)(z-x)} + \frac{(y-z)(y-z)}{(x-y)(y-z)(z-x)} - \frac{(z-x)(z-x)}{(x-y)(y-z)(z-x)} $

Это равно:

$ \frac{-(x-y)^2 + (y-z)^2 - (z-x)^2}{(x-y)(y-z)(z-x)} $

Раскроем квадраты в числителе:

Числитель = $ -(x^2 - 2xy + y^2) + (y^2 - 2yz + z^2) - (z^2 - 2zx + x^2) $

$ = -x^2 + 2xy - y^2 + y^2 - 2yz + z^2 - z^2 + 2zx - x^2 $

$ = -2x^2 + 2xy - 2yz + 2zx $

Сгруппируем слагаемые в числителе и вынесем общий множитель:

$ 2(-x^2 + xy - yz + zx) = 2( (xy-yz) + (zx-x^2) ) = 2( y(x-z) + x(z-x) ) $

$ = 2( y(x-z) - x(x-z) ) = 2(y-x)(x-z) $

Подставим упрощенный числитель обратно в дробь:

$ \frac{2(y-x)(x-z)}{(x-y)(y-z)(z-x)} $

Преобразуем множители в числителе, чтобы они совпали с множителями в знаменателе: $ y-x = -(x-y) $ и $ x-z = -(z-x) $.

$ \frac{2(-(x-y))(-(z-x))}{(x-y)(y-z)(z-x)} = \frac{2(x-y)(z-x)}{(x-y)(y-z)(z-x)} $

Сократим одинаковые множители $ (x-y) $ и $ (z-x) $:

$ \frac{2}{y-z} $

Ответ: $ \frac{2}{y-z} $