Номер 6.53, страница 182 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.53. 1) $\frac{3}{2m+6} - \frac{m-2}{m^2+6m+9};$

2) $\frac{5-a}{a^2-8a+16} + \frac{6}{5a-20};$

3) $\frac{1}{2x+2} - \frac{x-1}{3x^2+6x+3};$

4) $\frac{4}{3m-3n} + \frac{3m-n}{2m^2-4mn+2n^2};$

1) Чтобы выполнить вычитание дробей $\frac{3}{2m+6} - \frac{m-2}{m^2+6m+9}$, необходимо привести их к общему знаменателю. Для этого сначала разложим знаменатели на множители.

Знаменатель первой дроби: $2m+6 = 2(m+3)$.

Знаменатель второй дроби является полным квадратом: $m^2+6m+9 = (m+3)^2$.

Теперь выражение выглядит так: $\frac{3}{2(m+3)} - \frac{m-2}{(m+3)^2}$.

Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для знаменателей $2(m+3)$ и $(m+3)^2$ будет $2(m+3)^2$.

Умножим числитель и знаменатель первой дроби на дополнительный множитель $(m+3)$, а второй дроби — на $2$.

$\frac{3 \cdot (m+3)}{2(m+3) \cdot (m+3)} - \frac{(m-2) \cdot 2}{(m+3)^2 \cdot 2} = \frac{3(m+3)}{2(m+3)^2} - \frac{2(m-2)}{2(m+3)^2}$.

Теперь выполним вычитание числителей под общим знаменателем:

$\frac{3(m+3) - 2(m-2)}{2(m+3)^2} = \frac{3m + 9 - 2m + 4}{2(m+3)^2} = \frac{m + 13}{2(m+3)^2}$.

Ответ: $\frac{m+13}{2(m+3)^2}$.

2) Чтобы выполнить сложение дробей $\frac{5-a}{a^2-8a+16} + \frac{6}{5a-20}$, приведем их к общему знаменателю. Сначала разложим знаменатели на множители.

Знаменатель первой дроби является полным квадратом: $a^2-8a+16 = (a-4)^2$.

В знаменателе второй дроби вынесем общий множитель за скобки: $5a-20 = 5(a-4)$.

Выражение принимает вид: $\frac{5-a}{(a-4)^2} + \frac{6}{5(a-4)}$.

Наименьший общий знаменатель для $(a-4)^2$ и $5(a-4)$ будет $5(a-4)^2$.

Дополнительный множитель для первой дроби — $5$, для второй — $(a-4)$.

$\frac{(5-a) \cdot 5}{(a-4)^2 \cdot 5} + \frac{6 \cdot (a-4)}{5(a-4) \cdot (a-4)} = \frac{5(5-a)}{5(a-4)^2} + \frac{6(a-4)}{5(a-4)^2}$.

Сложим числители:

$\frac{5(5-a) + 6(a-4)}{5(a-4)^2} = \frac{25 - 5a + 6a - 24}{5(a-4)^2} = \frac{a + 1}{5(a-4)^2}$.

Ответ: $\frac{a+1}{5(a-4)^2}$.

3) Чтобы выполнить вычитание дробей $\frac{1}{2x+2} - \frac{x-1}{3x^2+6x+3}$, приведем их к общему знаменателю, предварительно разложив знаменатели на множители.

Знаменатель первой дроби: $2x+2 = 2(x+1)$.

Знаменатель второй дроби: $3x^2+6x+3 = 3(x^2+2x+1) = 3(x+1)^2$.

Выражение принимает вид: $\frac{1}{2(x+1)} - \frac{x-1}{3(x+1)^2}$.

Наименьший общий знаменатель для $2(x+1)$ и $3(x+1)^2$ будет $6(x+1)^2$.

Дополнительный множитель для первой дроби — $3(x+1)$, для второй — $2$.

$\frac{1 \cdot 3(x+1)}{2(x+1) \cdot 3(x+1)} - \frac{(x-1) \cdot 2}{3(x+1)^2 \cdot 2} = \frac{3(x+1)}{6(x+1)^2} - \frac{2(x-1)}{6(x+1)^2}$.

Выполним вычитание числителей:

$\frac{3(x+1) - 2(x-1)}{6(x+1)^2} = \frac{3x + 3 - 2x + 2}{6(x+1)^2} = \frac{x + 5}{6(x+1)^2}$.

Ответ: $\frac{x+5}{6(x+1)^2}$.

4) Чтобы сложить дроби $\frac{4}{3m-3n} + \frac{3m-n}{2m^2-4mn+2n^2}$, приведем их к общему знаменателю, разложив знаменатели на множители.

Знаменатель первой дроби: $3m-3n = 3(m-n)$.

Знаменатель второй дроби: $2m^2-4mn+2n^2 = 2(m^2-2mn+n^2) = 2(m-n)^2$.

Выражение принимает вид: $\frac{4}{3(m-n)} + \frac{3m-n}{2(m-n)^2}$.

Наименьший общий знаменатель для $3(m-n)$ и $2(m-n)^2$ будет $6(m-n)^2$.

Дополнительный множитель для первой дроби — $2(m-n)$, для второй — $3$.

$\frac{4 \cdot 2(m-n)}{3(m-n) \cdot 2(m-n)} + \frac{(3m-n) \cdot 3}{2(m-n)^2 \cdot 3} = \frac{8(m-n)}{6(m-n)^2} + \frac{3(3m-n)}{6(m-n)^2}$.

Сложим числители:

$\frac{8(m-n) + 3(3m-n)}{6(m-n)^2} = \frac{8m - 8n + 9m - 3n}{6(m-n)^2} = \frac{17m - 11n}{6(m-n)^2}$.

Ответ: $\frac{17m-11n}{6(m-n)^2}$.