Номер 6.58, страница 183 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.58. Докажите тождество:

1) $\frac{1}{(a-b)(b-c)} + \frac{1}{(c-a)(a-b)} + \frac{1}{(b-c)(c-a)} = 0;$

2) $\frac{ax+by}{(a-b)(x+y)} - \frac{bx-ay}{(a+b)(x+y)} = \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}.$

1) Для доказательства тождества $\frac{1}{(a-b)(b-c)} + \frac{1}{(c-a)(a-b)} + \frac{1}{(b-c)(c-a)} = 0$ преобразуем его левую часть.

Приведем все дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для данных дробей равен $(a-b)(b-c)(c-a)$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $(c-a)$.

Дополнительный множитель для второй дроби: $(b-c)$.

Дополнительный множитель для третьей дроби: $(a-b)$.

Запишем сумму дробей с общим знаменателем:

$\frac{1 \cdot (c-a)}{(a-b)(b-c)(c-a)} + \frac{1 \cdot (b-c)}{(c-a)(a-b)(b-c)} + \frac{1 \cdot (a-b)}{(b-c)(c-a)(a-b)} = \frac{c-a+b-c+a-b}{(a-b)(b-c)(c-a)}$

Упростим числитель полученной дроби:

$c-a+b-c+a-b = (a-a) + (b-b) + (c-c) = 0$

Таким образом, левая часть тождества равна:

$\frac{0}{(a-b)(b-c)(c-a)} = 0$

Левая часть равна правой части, тождество доказано (при условии, что $a \neq b$, $b \neq c$, $c \neq a$).

Ответ: Тождество доказано.

2) Для доказательства тождества $\frac{ax+by}{(a-b)(x+y)} - \frac{bx-ay}{(a+b)(x+y)} = \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}$ преобразуем его левую часть.

Найдем общий знаменатель для дробей в левой части. Он равен $(a-b)(a+b)(x+y)$. Используя формулу разности квадратов, знаменатель можно записать как $(a^2-b^2)(x+y)$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{(ax+by)(a+b)}{(a-b)(a+b)(x+y)} - \frac{(bx-ay)(a-b)}{(a+b)(a-b)(x+y)} = \frac{(ax+by)(a+b) - (bx-ay)(a-b)}{(a^2-b^2)(x+y)}$

Раскроем скобки в числителе:

$(ax+by)(a+b) = a^2x + abx + aby + b^2y$

$(bx-ay)(a-b) = abx - b^2x - a^2y + aby$

Выполним вычитание в числителе:

$(a^2x + abx + aby + b^2y) - (abx - b^2x - a^2y + aby) = a^2x + abx + aby + b^2y - abx + b^2x + a^2y - aby$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$a^2x + a^2y + b^2x + b^2y + (abx - abx) + (aby - aby) = a^2(x+y) + b^2(x+y)$

Вынесем общий множитель $(x+y)$ за скобки:

$(a^2+b^2)(x+y)$

Подставим упрощенный числитель обратно в дробь:

$\frac{(a^2+b^2)(x+y)}{(a^2-b^2)(x+y)}$

Сократим дробь на $(x+y)$ (при условии, что $x+y \neq 0$):

$\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}$

Полученное выражение равно правой части исходного тождества. Тождество доказано (при условии, что $a^2 \neq b^2$ и $x+y \neq 0$).

Ответ: Тождество доказано.