Номер 6.61, страница 184 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.61. Учитывая, что $a \neq 0$, $b \neq 0$, $a \neq b$ и $\frac{a^2-2b}{a(1-2b)} = \frac{b^2-2a}{b(1-2a)}$, докажите справедливость равенства $a+b+1.5 = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$.

6.61. Начнем с преобразования исходного равенства $\frac{a^2 - 2b}{a(1-2b)} = \frac{b^2 - 2a}{b(1-2a)}$, учитывая заданные условия $a \neq 0$, $b \neq 0$ и $a \neq b$. Из условий также следует, что знаменатели не равны нулю, то есть $1-2b \neq 0$ и $1-2a \neq 0$.

Выполним перекрестное умножение, чтобы избавиться от дробей: $b(1-2a)(a^2 - 2b) = a(1-2b)(b^2 - 2a)$.

Теперь раскроем скобки в обеих частях уравнения. Левая часть: $(b - 2ab)(a^2 - 2b) = b \cdot a^2 - b \cdot 2b - 2ab \cdot a^2 + 2ab \cdot 2b = a^2b - 2b^2 - 2a^3b + 4ab^2$. Правая часть: $(a - 2ab)(b^2 - 2a) = a \cdot b^2 - a \cdot 2a - 2ab \cdot b^2 + 2ab \cdot 2a = ab^2 - 2a^2 - 2ab^3 + 4a^2b$.

Приравняем полученные выражения: $a^2b - 2b^2 - 2a^3b + 4ab^2 = ab^2 - 2a^2 - 2ab^3 + 4a^2b$.

Перенесем все члены в левую часть уравнения и приведем подобные слагаемые: $(a^2b - 4a^2b) + (4ab^2 - ab^2) + (2a^2 - 2b^2) + (2ab^3 - 2a^3b) = 0$ $-3a^2b + 3ab^2 + 2(a^2 - b^2) + 2ab(b^2 - a^2) = 0$.

Сгруппируем и вынесем общие множители. Используем формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ и учтем, что $b^2-a^2 = -(a^2-b^2)$: $3ab(b-a) + 2(a-b)(a+b) - 2ab(a-b)(a+b) = 0$.

Заменим $b-a$ на $-(a-b)$ и вынесем общий множитель $(a-b)$ за скобки: $-3ab(a-b) + 2(a-b)(a+b) - 2ab(a-b)(a+b) = 0$ $(a-b)[-3ab + 2(a+b) - 2ab(a+b)] = 0$.

Согласно условию $a \neq b$, следовательно, множитель $(a-b)$ не равен нулю. Значит, мы можем разделить обе части уравнения на $(a-b)$, получив: $-3ab + 2(a+b) - 2ab(a+b) = 0$.

Раскроем скобки в полученном выражении: $-3ab + 2a + 2b - 2a^2b - 2ab^2 = 0$.

Так как по условию $a \neq 0$ и $b \neq 0$, то и их произведение $ab \neq 0$. Разделим каждый член уравнения на $ab$: $\frac{-3ab}{ab} + \frac{2a}{ab} + \frac{2b}{ab} - \frac{2a^2b}{ab} - \frac{2ab^2}{ab} = \frac{0}{ab}$.

После сокращения дробей получим: $-3 + \frac{2}{b} + \frac{2}{a} - 2a - 2b = 0$.

Перегруппируем слагаемые, чтобы изолировать нужные нам выражения: $\frac{2}{a} + \frac{2}{b} = 2a + 2b + 3$.

Разделим обе части этого равенства на 2: $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = a + b + \frac{3}{2}$.

Наконец, представим дробь $\frac{3}{2}$ в виде десятичного числа 1,5. Таким образом, мы приходим к равенству, которое требовалось доказать: $a + b + 1,5 = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$.

Ответ: Справедливость равенства $a + b + 1,5 = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ доказана.