Номер 6.67, страница 186 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.67. 1) $\frac{9a}{16b} \cdot \frac{2}{3}$;

2) $3m \cdot \frac{n}{12m}$;

3) $\frac{8c}{21d^2} : \frac{6c^2}{7d}$;

4) $5a : \frac{15a}{b}$;

5) $\frac{x^4}{y^3} \cdot \frac{y^2}{x^3}$;

6) $\frac{3mn}{4ab} \cdot \frac{10a^2b^2}{21m^2n}$;

7) $\frac{12ab}{25c} : 8a^2$;

8) $\frac{5c}{28a^2} \cdot 21ac$.

1) Чтобы разделить алгебраическую дробь на дробь, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй. Выполним умножение, перемножив числители и знаменатели:

$ \frac{9a}{16b} \div \frac{2}{3} = \frac{9a}{16b} \cdot \frac{3}{2} = \frac{9a \cdot 3}{16b \cdot 2} = \frac{27a}{32b} $

Полученная дробь несократима.

Ответ: $ \frac{27a}{32b} $

2) Чтобы умножить выражение на дробь, можно представить это выражение в виде дроби со знаменателем 1 и затем перемножить числители и знаменатели.

$ 3m \cdot \frac{n}{12m} = \frac{3m}{1} \cdot \frac{n}{12m} = \frac{3m \cdot n}{1 \cdot 12m} = \frac{3mn}{12m} $

Сократим полученную дробь на общий множитель $3m$ (при условии, что $m \neq 0$):

$ \frac{3mn}{12m} = \frac{n}{4} $

Ответ: $ \frac{n}{4} $

3) Деление на дробь заменяем умножением на обратную дробь. Затем выполняем умножение и сокращение.

$ \frac{8c}{21d^2} \div \frac{6c^2}{7d} = \frac{8c}{21d^2} \cdot \frac{7d}{6c^2} = \frac{8c \cdot 7d}{21d^2 \cdot 6c^2} $

Сгруппируем и сократим числовые коэффициенты и переменные:

$ \frac{8 \cdot 7}{21 \cdot 6} \cdot \frac{cd}{d^2c^2} = \frac{56}{126} \cdot \frac{1}{cd} $

Сокращаем дробь $\frac{56}{126}$ на общий делитель 14: $\frac{56 \div 14}{126 \div 14} = \frac{4}{9}$.

Итоговый результат: $ \frac{4}{9cd} $

Ответ: $ \frac{4}{9cd} $

4) Чтобы разделить выражение на дробь, представим его в виде дроби и умножим на обратную дробь.

$ 5a \div \frac{15a}{b} = \frac{5a}{1} \cdot \frac{b}{15a} = \frac{5a \cdot b}{1 \cdot 15a} = \frac{5ab}{15a} $

Сократим дробь на общий множитель $5a$ (при условии, что $a \neq 0$):

$ \frac{5ab}{15a} = \frac{b}{3} $

Ответ: $ \frac{b}{3} $

5) При умножении дробей их числители и знаменатели перемножаются.

$ \frac{x^4}{y^3} \cdot \frac{y^2}{x^3} = \frac{x^4 \cdot y^2}{y^3 \cdot x^3} $

Используем свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ для сокращения:

$ \frac{x^4}{x^3} \cdot \frac{y^2}{y^3} = x^{4-3} \cdot y^{2-3} = x^1 \cdot y^{-1} = x \cdot \frac{1}{y} = \frac{x}{y} $

Ответ: $ \frac{x}{y} $

6) Выполним умножение дробей, перемножив их числители и знаменатели, а затем сократим.

$ \frac{3mn}{4ab} \cdot \frac{10a^2b^2}{21m^2n} = \frac{3mn \cdot 10a^2b^2}{4ab \cdot 21m^2n} = \frac{30mna^2b^2}{84abm^2n} $

Сократим числовой коэффициент $\frac{30}{84}$ на 6, получим $\frac{5}{14}$.

Сократим переменные: $\frac{a^2}{a}=a$, $\frac{b^2}{b}=b$, $\frac{m}{m^2}=\frac{1}{m}$, $\frac{n}{n}=1$.

Объединим результаты: $ \frac{5}{14} \cdot a \cdot b \cdot \frac{1}{m} = \frac{5ab}{14m} $

Ответ: $ \frac{5ab}{14m} $

7) Представим делитель $8a^2$ в виде дроби $\frac{8a^2}{1}$ и заменим деление на умножение.

$ \frac{12ab}{25c} \div 8a^2 = \frac{12ab}{25c} \div \frac{8a^2}{1} = \frac{12ab}{25c} \cdot \frac{1}{8a^2} = \frac{12ab}{25c \cdot 8a^2} = \frac{12ab}{200a^2c} $

Сократим числовой коэффициент $\frac{12}{200}$ на 4, получим $\frac{3}{50}$.

Сократим переменные: $\frac{a}{a^2}=\frac{1}{a}$.

Соберем итоговое выражение: $ \frac{3}{50} \cdot \frac{b}{ac} = \frac{3b}{50ac} $

Ответ: $ \frac{3b}{50ac} $

8) Представим множитель $21ac$ в виде дроби $\frac{21ac}{1}$ и выполним умножение.

$ \frac{5c}{28a^2} \cdot 21ac = \frac{5c}{28a^2} \cdot \frac{21ac}{1} = \frac{5c \cdot 21ac}{28a^2} = \frac{105ac^2}{28a^2} $

Сократим числовой коэффициент $\frac{105}{28}$ на 7, получим $\frac{15}{4}$.

Сократим переменные: $\frac{a}{a^2}=\frac{1}{a}$.

Соберем итоговое выражение: $ \frac{15}{4} \cdot \frac{c^2}{a} = \frac{15c^2}{4a} $

Ответ: $ \frac{15c^2}{4a} $