Номер 6.74, страница 187 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.74. 1) $\frac{(a+3)^2}{2a-4} \cdot \frac{a^2-4}{3a+9};$

2) $\frac{m^2-4n^2}{mn} : \frac{m^2-4n^2}{3n};$

3) $\frac{p^2-q^2}{2pq} \cdot \frac{4p}{p+q};$

4) $\frac{x^2+4x}{x^2-4} : \frac{3x+12}{x-2};$

5) $\frac{3x^2-3y^2}{x^2+ax} : \frac{6x-6y}{x+a};$

6) $(2x-u)^2 : \frac{4x^3-xu^2}{3}.$

1) Выполним умножение дробей $\frac{(a+3)^2}{2a-4} \cdot \frac{a^2-4}{3a+9}$.

Сначала разложим на множители числители и знаменатели, где это возможно:

$2a-4 = 2(a-2)$

$a^2-4 = (a-2)(a+2)$ (формула разности квадратов)

$3a+9 = 3(a+3)$

Теперь подставим разложенные выражения обратно в исходное:

$\frac{(a+3)^2}{2(a-2)} \cdot \frac{(a-2)(a+2)}{3(a+3)}$

Сократим общие множители $(a+3)$ и $(a-2)$:

$\frac{(a+3)^{\cancel{2}}}{2\cancel{(a-2)}} \cdot \frac{\cancel{(a-2)}(a+2)}{3\cancel{(a+3)}} = \frac{(a+3)(a+2)}{2 \cdot 3} = \frac{(a+3)(a+2)}{6}$

Ответ: $\frac{(a+3)(a+2)}{6}$

2) Выполним деление дробей $\frac{m^2-4n^2}{mn} : \frac{m^2-4n^2}{3n}$.

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:

$\frac{m^2-4n^2}{mn} \cdot \frac{3n}{m^2-4n^2}$

Сократим одинаковые выражения $(m^2-4n^2)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $m^2-4n^2 \neq 0$):

$\frac{\cancel{m^2-4n^2}}{mn} \cdot \frac{3n}{\cancel{m^2-4n^2}} = \frac{3n}{mn}$

Теперь сократим общий множитель $n$ (при условии, что $n \neq 0$):

$\frac{3\cancel{n}}{m\cancel{n}} = \frac{3}{m}$

Ответ: $\frac{3}{m}$

3) Выполним умножение дробей $\frac{p^2-q^2}{2pq} \cdot \frac{4p}{p+q}$.

Разложим на множители числитель первой дроби по формуле разности квадратов:

$p^2-q^2 = (p-q)(p+q)$

Подставим в исходное выражение:

$\frac{(p-q)(p+q)}{2pq} \cdot \frac{4p}{p+q}$

Сократим общие множители $(p+q)$, $p$ и числовые коэффициенты 4 и 2:

$\frac{(p-q)\cancel{(p+q)}}{\cancel{2}\cancel{p}q} \cdot \frac{\cancel{4}^{\ 2}\cancel{p}}{\cancel{p+q}} = \frac{(p-q) \cdot 2}{q} = \frac{2(p-q)}{q}$

Ответ: $\frac{2(p-q)}{q}$

4) Выполним деление дробей $\frac{x^2+4x}{x^2-4} : \frac{3x+12}{x-2}$.

Заменим деление на умножение на обратную дробь:

$\frac{x^2+4x}{x^2-4} \cdot \frac{x-2}{3x+12}$

Разложим числители и знаменатели на множители:

$x^2+4x = x(x+4)$

$x^2-4 = (x-2)(x+2)$

$3x+12 = 3(x+4)$

Подставим разложения в выражение:

$\frac{x(x+4)}{(x-2)(x+2)} \cdot \frac{x-2}{3(x+4)}$

Сократим общие множители $(x+4)$ и $(x-2)$:

$\frac{x\cancel{(x+4)}}{\cancel{(x-2)}(x+2)} \cdot \frac{\cancel{x-2}}{3\cancel{(x+4)}} = \frac{x}{3(x+2)}$

Ответ: $\frac{x}{3(x+2)}$

5) Выполним деление дробей $\frac{3x^2-3y^2}{x^2+ax} : \frac{6x-6y}{x+a}$.

Заменим деление на умножение на обратную дробь:

$\frac{3x^2-3y^2}{x^2+ax} \cdot \frac{x+a}{6x-6y}$

Разложим числители и знаменатели на множители:

$3x^2-3y^2 = 3(x^2-y^2) = 3(x-y)(x+y)$

$x^2+ax = x(x+a)$

$6x-6y = 6(x-y)$

Подставим разложения в выражение:

$\frac{3(x-y)(x+y)}{x(x+a)} \cdot \frac{x+a}{6(x-y)}$

Сократим общие множители $(x-y)$, $(x+a)$ и числовые коэффициенты 3 и 6:

$\frac{\cancel{3}\cancel{(x-y)}(x+y)}{x\cancel{(x+a)}} \cdot \frac{\cancel{x+a}}{\cancel{6}^{\ 2}\cancel{(x-y)}} = \frac{x+y}{2x}$

Ответ: $\frac{x+y}{2x}$

6) Выполним деление $(2x-u)^2 : \frac{4x^3-xu^2}{3}$.

Представим первое выражение в виде дроби и заменим деление на умножение:

$\frac{(2x-u)^2}{1} \cdot \frac{3}{4x^3-xu^2}$

Разложим на множители знаменатель второй дроби:

$4x^3-xu^2 = x(4x^2-u^2) = x(2x-u)(2x+u)$

Подставим разложение в выражение:

$\frac{(2x-u)^2}{1} \cdot \frac{3}{x(2x-u)(2x+u)}$

Сократим общий множитель $(2x-u)$:

$\frac{(2x-u)^{\cancel{2}}}{1} \cdot \frac{3}{x\cancel{(2x-u)}(2x+u)} = \frac{3(2x-u)}{x(2x+u)}$

Ответ: $\frac{3(2x-u)}{x(2x+u)}$