Номер 6.36, страница 180 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.36. 1) $\frac{a}{x^2-1} - \frac{b}{1-x^2}$;

2) $\frac{c+d}{c^2-b^2} + \frac{c-d}{b^2-c^2}$;

3) $\frac{a}{x-y} - \frac{b}{y-x} + \frac{c}{x-y}$;

4) $\frac{x+1}{a-b} - \frac{x+2}{b-a} - \frac{x-1}{a-b}$;

1) Чтобы вычесть дроби, приведем их к общему знаменателю. Заметим, что знаменатели $x^2 - 1$ и $1 - x^2$ отличаются только знаком.

Можно записать $1 - x^2 = -(x^2 - 1)$.

Тогда исходное выражение можно преобразовать:

$\frac{a}{x^2 - 1} - \frac{b}{1 - x^2} = \frac{a}{x^2 - 1} - \frac{b}{-(x^2 - 1)}$

Вынесение минуса из знаменателя меняет знак перед дробью:

$\frac{a}{x^2 - 1} + \frac{b}{x^2 - 1}$

Теперь, когда знаменатели одинаковы, можно сложить числители:

$\frac{a + b}{x^2 - 1}$

Ответ: $\frac{a+b}{x^2 - 1}$

2) Это задание решается аналогично первому. Знаменатели $c^2 - b^2$ и $b^2 - c^2$ также противоположны по знаку: $b^2 - c^2 = -(c^2 - b^2)$.

Преобразуем вторую дробь:

$\frac{c+d}{c^2 - b^2} + \frac{c-d}{b^2 - c^2} = \frac{c+d}{c^2 - b^2} + \frac{c-d}{-(c^2 - b^2)}$

Вынесем минус перед второй дробью:

$\frac{c+d}{c^2 - b^2} - \frac{c-d}{c^2 - b^2}$

Теперь вычтем числители, так как знаменатели одинаковы:

$\frac{(c+d) - (c-d)}{c^2 - b^2} = \frac{c+d - c+d}{c^2 - b^2} = \frac{2d}{c^2 - b^2}$

Ответ: $\frac{2d}{c^2 - b^2}$

3) В данном выражении три дроби. Знаменатели первой и третьей дробей совпадают ($x-y$), а знаменатель второй дроби ($y-x$) является противоположным.

Преобразуем вторую дробь, используя свойство $y-x = -(x-y)$:

$\frac{a}{x-y} - \frac{b}{y-x} + \frac{c}{x-y} = \frac{a}{x-y} - \frac{b}{-(x-y)} + \frac{c}{x-y}$

Вынесем минус из знаменателя второй дроби, изменив знак перед ней:

$\frac{a}{x-y} + \frac{b}{x-y} + \frac{c}{x-y}$

Теперь все дроби имеют общий знаменатель, сложим их числители:

$\frac{a+b+c}{x-y}$

Ответ: $\frac{a+b+c}{x-y}$

4) Снова приведем все дроби к общему знаменателю. Знаменатели первой и третьей дробей равны $a-b$. Знаменатель второй дроби $b-a = -(a-b)$.

Преобразуем вторую дробь:

$\frac{x+1}{a-b} - \frac{x+2}{b-a} - \frac{x-1}{a-b} = \frac{x+1}{a-b} - \frac{x+2}{-(a-b)} - \frac{x-1}{a-b}$

Изменение знака в знаменателе второй дроби приводит к изменению знака перед ней:

$\frac{x+1}{a-b} + \frac{x+2}{a-b} - \frac{x-1}{a-b}$

Теперь, когда все знаменатели одинаковы, выполним действия с числителями:

$\frac{(x+1) + (x+2) - (x-1)}{a-b}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{x+1+x+2-x+1}{a-b} = \frac{(x+x-x) + (1+2+1)}{a-b} = \frac{x+4}{a-b}$

Ответ: $\frac{x+4}{a-b}$