Вопросы, страница 179 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Как сложить дробные выражения с одинаковыми знаменателями?

2. Как найти значение разности дробных выражений с одинаковыми знаменателями?

3. Докажите формулы (1) и (2).

4. Как сложить дробные выражения с разными знаменателями?

5. Как найти разность дробных выражений с разными знаменателями?

6. Докажите формулы (3) и (4).

1. Как сложить дробные выражения с одинаковыми знаменателями?

Чтобы сложить дробные выражения с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить тем же. Это правило можно записать в виде формулы: $ \frac{A}{C} + \frac{B}{C} = \frac{A+B}{C} $. Здесь $A$, $B$ и $C$ — многочлены, причем многочлен $C$ не равен нулю.

Ответ: Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений.

2. Как найти значение разности дробных выражений с одинаковыми знаменателями?

Чтобы найти разность дробных выражений с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого, а знаменатель оставить тем же. Формула для вычитания дробей имеет вид: $ \frac{A}{C} - \frac{B}{C} = \frac{A-B}{C} $. Здесь $A$, $B$ и $C$ — многочлены, причем многочлен $C$ не равен нулю.

Ответ: Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить без изменений.

3. Докажите формулы (1) и (2).

Формулы (1) и (2) представляют собой правила сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.

Доказательство формулы (1) $ \frac{A}{C} + \frac{B}{C} = \frac{A+B}{C} $: Рациональная дробь $ \frac{P}{Q} $ является таким выражением, которое при умножении на знаменатель $Q$ дает в результате числитель $P$. Пусть $ \frac{A}{C} = x $ и $ \frac{B}{C} = y $. По определению дроби, это означает, что $ A = x \cdot C $ и $ B = y \cdot C $. Сложим левые и правые части этих равенств: $ A + B = x \cdot C + y \cdot C $. Используя распределительный закон умножения, вынесем $C$ за скобки: $ A + B = (x+y) \cdot C $. По определению дроби, из последнего равенства следует, что $ x+y = \frac{A+B}{C} $. Подставив вместо $x$ и $y$ их исходные выражения, получаем $ \frac{A}{C} + \frac{B}{C} = \frac{A+B}{C} $.

Доказательство формулы (2) $ \frac{A}{C} - \frac{B}{C} = \frac{A-B}{C} $: Доказательство аналогично. Пусть $ \frac{A}{C} = x $ и $ \frac{B}{C} = y $. Тогда $ A = x \cdot C $ и $ B = y \cdot C $. Вычтем второе равенство из первого: $ A - B = x \cdot C - y \cdot C $. Вынесем $C$ за скобки: $ A - B = (x-y) \cdot C $. Отсюда по определению дроби: $ x-y = \frac{A-B}{C} $. Подставляя обратно $x$ и $y$, получаем $ \frac{A}{C} - \frac{B}{C} = \frac{A-B}{C} $.

Ответ: Формулы доказываются на основе определения рациональной дроби и распределительного закона умножения.

4. Как сложить дробные выражения с разными знаменателями?

Чтобы сложить дробные выражения с разными знаменателями, необходимо выполнить следующие действия:

1. Найти общий знаменатель для данных дробей. Обычно в качестве общего знаменателя используют многочлен, который является наименьшим общим кратным (НОК) знаменателей исходных дробей.
2. Для каждой дроби найти дополнительный множитель. Дополнительный множитель — это выражение, на которое нужно умножить исходный знаменатель, чтобы получить общий знаменатель.
3. Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель. Эта операция называется приведением дробей к общему знаменателю.
4. Сложить полученные дроби с одинаковыми знаменателями, то есть сложить их числители, а знаменатель оставить общим.

Для двух дробей $ \frac{A}{B} $ и $ \frac{C}{D} $ формула в общем виде выглядит так: $ \frac{A}{B} + \frac{C}{D} = \frac{A \cdot D}{B \cdot D} + \frac{C \cdot B}{D \cdot B} = \frac{AD+BC}{BD} $.

Ответ: Дроби приводят к общему знаменателю, а затем складывают их числители, оставляя общий знаменатель без изменений.

5. Как найти разность дробных выражений с разными знаменателями?

Чтобы найти разность дробных выражений с разными знаменателями, нужно действовать аналогично сложению:

1. Привести дроби к общему знаменателю, найдя наименьший общий знаменатель и дополнительные множители для каждой дроби.
2. Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий ей дополнительный множитель.
3. Вычесть полученные дроби с одинаковыми знаменателями. Для этого из числителя первой дроби вычитают числитель второй, а знаменатель оставляют общим.

Формула разности для двух дробей $ \frac{A}{B} $ и $ \frac{C}{D} $ имеет вид: $ \frac{A}{B} - \frac{C}{D} = \frac{A \cdot D}{B \cdot D} - \frac{C \cdot B}{D \cdot B} = \frac{AD-BC}{BD} $.

Ответ: Дроби приводят к общему знаменателю, а затем из числителя первой дроби вычитают числитель второй, оставляя общий знаменатель без изменений.

6. Докажите формулы (3) и (4).

Формулы (3) и (4) представляют собой правила сложения и вычитания дробей с разными знаменателями.

Доказательство формулы (3) $ \frac{A}{B} + \frac{C}{D} = \frac{AD+BC}{BD} $: Основное свойство дроби гласит, что если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же ненулевое выражение, то получится дробь, равная данной: $ \frac{P}{Q} = \frac{P \cdot M}{Q \cdot M} $. Рассмотрим сумму $ \frac{A}{B} + \frac{C}{D} $. Приведем дроби к общему знаменателю $BD$. Для этого умножим числитель и знаменатель первой дроби на $D$, а второй — на $B$: $ \frac{A}{B} = \frac{A \cdot D}{B \cdot D} $ и $ \frac{C}{D} = \frac{C \cdot B}{D \cdot B} = \frac{BC}{BD} $. Теперь сложим дроби с одинаковым знаменателем $BD$: $ \frac{A}{B} + \frac{C}{D} = \frac{AD}{BD} + \frac{BC}{BD} $. Используя правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями (формула 1), получаем: $ \frac{AD+BC}{BD} $.

Доказательство формулы (4) $ \frac{A}{B} - \frac{C}{D} = \frac{AD-BC}{BD} $: Доказательство аналогично. Приведем дроби к общему знаменателю $BD$: $ \frac{A}{B} - \frac{C}{D} = \frac{AD}{BD} - \frac{BC}{BD} $. Используя правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями (формула 2), получаем: $ \frac{AD-BC}{BD} $.

Ответ: Формулы доказываются путем приведения дробей к общему знаменателю с использованием основного свойства дроби и последующего применения правил сложения/вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.