Номер 6.24, страница 176 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.24. Сократите дробь:

1) $\frac{ax+ay-bx-by}{ax-ay-bx+by}$;

2) $\frac{ac-bc+ad-bd}{ac+bc+ad+bd}$;

3) $\frac{ab+ac+b^2+bc}{ax+ay+bx+by}$;

4) $\frac{(a+b)^2-c^2}{a+b+c}$.

1) Для того чтобы сократить дробь $\frac{ax+ay-bx-by}{ax-ay-bx+by}$, разложим на множители ее числитель и знаменатель методом группировки.

Числитель: $ax+ay-bx-by = (ax+ay) - (bx+by) = a(x+y) - b(x+y) = (a-b)(x+y)$.

Знаменатель: $ax-ay-bx+by = (ax-ay) - (bx-by) = a(x-y) - b(x-y) = (a-b)(x-y)$.

Теперь дробь имеет вид: $\frac{(a-b)(x+y)}{(a-b)(x-y)}$.

Сокращаем общий множитель $(a-b)$ и получаем результат.

Ответ: $\frac{x+y}{x-y}$

2) Для того чтобы сократить дробь $\frac{ac-bc+ad-bd}{ac+bc+ad+bd}$, разложим на множители ее числитель и знаменатель методом группировки.

Числитель: $ac-bc+ad-bd = (ac-bc) + (ad-bd) = c(a-b) + d(a-b) = (a-b)(c+d)$.

Знаменатель: $ac+bc+ad+bd = (ac+bc) + (ad+bd) = c(a+b) + d(a+b) = (a+b)(c+d)$.

Теперь дробь имеет вид: $\frac{(a-b)(c+d)}{(a+b)(c+d)}$.

Сокращаем общий множитель $(c+d)$ и получаем результат.

Ответ: $\frac{a-b}{a+b}$

3) Для того чтобы сократить дробь $\frac{ab+ac+b^2+bc}{ax+ay+bx+by}$, разложим на множители ее числитель и знаменатель методом группировки.

Числитель: $ab+ac+b^2+bc = (ab+b^2) + (ac+bc) = b(a+b) + c(a+b) = (a+b)(b+c)$.

Знаменатель: $ax+ay+bx+by = (ax+ay) + (bx+by) = a(x+y) + b(x+y) = (a+b)(x+y)$.

Теперь дробь имеет вид: $\frac{(a+b)(b+c)}{(a+b)(x+y)}$.

Сокращаем общий множитель $(a+b)$ и получаем результат.

Ответ: $\frac{b+c}{x+y}$

4) Для того чтобы сократить дробь $\frac{(a+b)^2-c^2}{a+b+c}$, используем формулу разности квадратов для числителя.

Формула разности квадратов: $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$. В нашем случае $x = a+b$ и $y = c$.

Числитель: $(a+b)^2-c^2 = ((a+b)-c)((a+b)+c) = (a+b-c)(a+b+c)$.

Теперь дробь имеет вид: $\frac{(a+b-c)(a+b+c)}{a+b+c}$.

Сокращаем общий множитель $(a+b+c)$ и получаем результат.

Ответ: $a+b-c$