Номер 6.20, страница 175 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 6.13-6.20 сократите дроби.

6.20. 1) $\frac{x^6 + x^4}{x^4 + x^2}$;

2) $\frac{x^6 - x^8}{x^4 - x^2}$;

3) $\frac{m^7 - m^{10}}{m^9 - m^8}$;

4) $\frac{a^6 - a^4}{a^3 + a^2}$.

1) Чтобы сократить дробь $\frac{x^6 + x^4}{x^4 + x^2}$, необходимо разложить числитель и знаменатель на множители. Вынесем общий множитель за скобки. В числителе общий множитель с наименьшей степенью — это $x^4$: $x^6 + x^4 = x^4(x^2 + 1)$. В знаменателе общий множитель с наименьшей степенью — это $x^2$: $x^4 + x^2 = x^2(x^2 + 1)$. Теперь дробь имеет вид: $\frac{x^4(x^2 + 1)}{x^2(x^2 + 1)}$. Мы видим, что в числителе и знаменателе есть общий множитель $(x^2 + 1)$, на который можно сократить дробь (при условии, что $x^2 + 1 \neq 0$, что всегда верно для действительных чисел). После сокращения получаем: $\frac{x^4}{x^2}$. Используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, окончательно упрощаем выражение: $x^{4-2} = x^2$.

Ответ: $x^2$.

2) Рассмотрим дробь $\frac{x^6 - x^8}{x^4 - x^2}$. Вынесем за скобки общие множители. В числителе вынесем $x^6$: $x^6 - x^8 = x^6(1 - x^2)$. В знаменателе вынесем $x^2$: $x^4 - x^2 = x^2(x^2 - 1)$. Дробь примет вид: $\frac{x^6(1 - x^2)}{x^2(x^2 - 1)}$. Заметим, что выражение $(1 - x^2)$ можно представить как $-(x^2 - 1)$. Подставим это в числитель: $\frac{x^6(-(x^2 - 1))}{x^2(x^2 - 1)}$. Теперь можно сократить дробь на общий множитель $(x^2 - 1)$: $\frac{-x^6}{x^2}$. По свойству степеней: $-x^{6-2} = -x^4$.

Ответ: $-x^4$.

3) Рассмотрим дробь $\frac{m^7 - m^{10}}{m^9 - m^8}$. Вынесем общие множители за скобки. В числителе вынесем $m^7$: $m^7 - m^{10} = m^7(1 - m^3)$. В знаменателе вынесем $m^8$: $m^9 - m^8 = m^8(m - 1)$. Дробь примет вид: $\frac{m^7(1 - m^3)}{m^8(m - 1)}$. Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ для выражения $(1 - m^3)$: $1 - m^3 = (1 - m)(1 + m + m^2)$. Подставим это в дробь: $\frac{m^7(1 - m)(1 + m + m^2)}{m^8(m - 1)}$. Так как $1 - m = -(m - 1)$, мы можем переписать числитель: $\frac{-m^7(m - 1)(1 + m + m^2)}{m^8(m - 1)}$. Сократим на общий множитель $(m - 1)$: $\frac{-m^7(1 + m + m^2)}{m^8}$. Теперь сократим $m^7$ и $m^8$. Так как $\frac{m^7}{m^8} = m^{7-8} = m^{-1} = \frac{1}{m}$, получаем: $-\frac{1 + m + m^2}{m}$.

Ответ: $-\frac{1 + m + m^2}{m}$.

4) Сократим дробь $\frac{a^6 - a^4}{a^3 + a^2}$. Для этого разложим на множители числитель и знаменатель. В числителе вынесем за скобки $a^4$: $a^6 - a^4 = a^4(a^2 - 1)$. В знаменателе вынесем $a^2$: $a^3 + a^2 = a^2(a + 1)$. Дробь примет вид: $\frac{a^4(a^2 - 1)}{a^2(a + 1)}$. Выражение $(a^2 - 1)$ в числителе можно разложить по формуле разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$: $a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1)$. Подставим разложение в дробь: $\frac{a^4(a - 1)(a + 1)}{a^2(a + 1)}$. Сократим дробь на общий множитель $(a + 1)$: $\frac{a^4(a - 1)}{a^2}$. Теперь сократим степени $a$: $a^{4-2}(a - 1) = a^2(a - 1)$. Раскроем скобки для получения многочлена в стандартном виде: $a^2(a - 1) = a^3 - a^2$.

Ответ: $a^3 - a^2$.