Номер 6.15, страница 175 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 6.13-6.20 сократите дроби.

6.15. 1) $\frac{a^2 + 2ab + b^2}{a^2 - b^2}$;

2) $\frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 1}$;

3) $\frac{3a^2 - 6ab + 3b^2}{6a^2 - 6b^2}$;

4) $\frac{5m^2 + 10mn + 5n^2}{15m^2 - 15n^2}$

1) Чтобы сократить дробь $\frac{a^2 + 2ab + b^2}{a^2 - b^2}$, необходимо разложить на множители ее числитель и знаменатель.

Числитель $a^2 + 2ab + b^2$ представляет собой формулу квадрата суммы: $(a+b)^2$.

Знаменатель $a^2 - b^2$ является формулой разности квадратов: $(a-b)(a+b)$.

Подставим разложенные выражения в исходную дробь:

$\frac{a^2 + 2ab + b^2}{a^2 - b^2} = \frac{(a+b)^2}{(a-b)(a+b)}$

Сократим общий множитель $(a+b)$:

$\frac{(a+b)(a+b)}{(a-b)(a+b)} = \frac{a+b}{a-b}$

Ответ: $\frac{a+b}{a-b}$

2) Чтобы сократить дробь $\frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 1}$, разложим на множители числитель и знаменатель.

Числитель $x^2 - 2x + 1$ является формулой квадрата разности: $(x-1)^2$.

Знаменатель $x^2 - 1$ является формулой разности квадратов: $(x-1)(x+1)$.

Запишем дробь в новом виде:

$\frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 1} = \frac{(x-1)^2}{(x-1)(x+1)}$

Сократим дробь на общий множитель $(x-1)$:

$\frac{(x-1)(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{x-1}{x+1}$

Ответ: $\frac{x-1}{x+1}$

3) Сократим дробь $\frac{3a^2 - 6ab + 3b^2}{6a^2 - 6b^2}$. Для этого преобразуем числитель и знаменатель.

В числителе вынесем общий множитель 3 за скобку: $3(a^2 - 2ab + b^2)$. Выражение в скобках — это квадрат разности, т.е. $(a-b)^2$. Таким образом, числитель равен $3(a-b)^2$.

В знаменателе вынесем общий множитель 6 за скобку: $6(a^2 - b^2)$. Выражение в скобках — это разность квадратов, т.е. $(a-b)(a+b)$. Таким образом, знаменатель равен $6(a-b)(a+b)$.

Подставим преобразованные выражения в дробь:

$\frac{3(a-b)^2}{6(a-b)(a+b)}$

Сократим общие множители $3$ и $(a-b)$:

$\frac{3(a-b)(a-b)}{6(a-b)(a+b)} = \frac{a-b}{2(a+b)}$

Ответ: $\frac{a-b}{2(a+b)}$

4) Сократим дробь $\frac{5m^2 + 10mn + 5n^2}{15m^2 - 15n^2}$.

В числителе вынесем за скобку общий множитель 5: $5(m^2 + 2mn + n^2)$. В скобках получили квадрат суммы: $(m+n)^2$. Числитель равен $5(m+n)^2$.

В знаменателе вынесем за скобку общий множитель 15: $15(m^2 - n^2)$. В скобках получили разность квадратов: $(m-n)(m+n)$. Знаменатель равен $15(m-n)(m+n)$.

Запишем дробь с разложенными на множители числителем и знаменателем:

$\frac{5(m+n)^2}{15(m-n)(m+n)}$

Сократим общие множители $5$ и $(m+n)$:

$\frac{5(m+n)(m+n)}{15(m-n)(m+n)} = \frac{m+n}{3(m-n)}$

Ответ: $\frac{m+n}{3(m-n)}$