Номер 6.19, страница 175 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 6.13-6.20 сократите дроби.

6.19. 1) $\frac{a^2 + 2ab + b^2}{2a^4 - 2b^4}$

2) $\frac{1 - 2x + x^2}{x^2 - 1}$

3) $\frac{3n^2 - 3m^2}{6m^3 + 6n^3}$

4) $\frac{a^4 - b^4}{a^2 - b^2}$

1) Чтобы сократить дробь $\frac{a^2+2ab+b^2}{2a^4-2b^4}$, разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель представляет собой формулу квадрата суммы: $a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2$.

В знаменателе вынесем общий множитель 2 за скобки: $2a^4-2b^4 = 2(a^4-b^4)$.

Выражение в скобках $a^4-b^4$ является разностью квадратов, которую можно разложить как $(a^2-b^2)(a^2+b^2)$.

В свою очередь, $a^2-b^2$ также является разностью квадратов: $(a-b)(a+b)$.

Таким образом, знаменатель полностью раскладывается на множители: $2a^4-2b^4 = 2(a-b)(a+b)(a^2+b^2)$.

Теперь запишем дробь с разложенными числителем и знаменателем и сократим ее:

$\frac{(a+b)^2}{2(a-b)(a+b)(a^2+b^2)} = \frac{(a+b)(a+b)}{2(a-b)(a+b)(a^2+b^2)} = \frac{a+b}{2(a-b)(a^2+b^2)}$.

Ответ: $\frac{a+b}{2(a-b)(a^2+b^2)}$.

2) Сократим дробь $\frac{1-2x+x^2}{x^2-1}$.

Числитель $1-2x+x^2$ является полным квадратом разности: $(1-x)^2$ или, что то же самое, $(x-1)^2$.

Знаменатель $x^2-1$ является разностью квадратов: $(x-1)(x+1)$.

Подставим разложенные выражения в дробь и выполним сокращение:

$\frac{(x-1)^2}{(x-1)(x+1)} = \frac{(x-1)(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{x-1}{x+1}$.

Ответ: $\frac{x-1}{x+1}$.

3) Сократим дробь $\frac{3n^2-3m^2}{6m^3+6n^3}$.

В числителе вынесем общий множитель 3 за скобки: $3(n^2-m^2)$. Затем применим формулу разности квадратов: $3(n-m)(n+m)$.

В знаменателе вынесем общий множитель 6 за скобки: $6(m^3+n^3)$. Затем применим формулу суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$: $6(m+n)(m^2-mn+n^2)$.

Запишем дробь с разложенными числителем и знаменателем:

$\frac{3(n-m)(n+m)}{6(m+n)(m^2-mn+n^2)}$.

Сократим общий множитель $(n+m)$ (так как $n+m=m+n$) и числовой коэффициент $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$:

$\frac{n-m}{2(m^2-mn+n^2)}$.

Ответ: $\frac{n-m}{2(m^2-mn+n^2)}$.

4) Сократим дробь $\frac{a^4-b^4}{a^2-b^2}$.

Разложим числитель $a^4-b^4$ на множители как разность квадратов $(a^2)^2 - (b^2)^2$:

$a^4-b^4 = (a^2-b^2)(a^2+b^2)$.

Теперь подставим разложенный числитель в дробь:

$\frac{(a^2-b^2)(a^2+b^2)}{a^2-b^2}$.

Сократим общий множитель $(a^2-b^2)$ в числителе и знаменателе:

$a^2+b^2$.

Ответ: $a^2+b^2$.