Номер 6.13, страница 175 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 6.13-6.20 сократите дроби.

6.13. 1) $ \frac{x+x^2}{x^2-1}; $

2) $ \frac{a-a^2}{a^2-1}; $

3) $ \frac{(a-b)^2}{b^2-a^2}; $

4) $ \frac{m^2-n^2}{(n+m)^2}. $

1) Для сокращения дроби $\frac{x + x^2}{x^2 - 1}$ разложим числитель и знаменатель на множители.

В числителе вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x + x^2 = x(1 + x)$.

Знаменатель является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$: $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$.

Теперь дробь имеет вид: $\frac{x(1 + x)}{(x - 1)(x + 1)}$.

Сократим общий множитель $(x + 1)$ (так как $1 + x = x + 1$) в числителе и знаменателе.

Получаем: $\frac{x}{x - 1}$.

Ответ: $\frac{x}{x - 1}$.

2) Рассмотрим дробь $\frac{a - a^2}{a^2 - 1}$. Разложим числитель и знаменатель на множители.

В числителе вынесем $a$ за скобки: $a - a^2 = a(1 - a)$.

Знаменатель является разностью квадратов: $a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1)$.

Дробь принимает вид: $\frac{a(1 - a)}{(a - 1)(a + 1)}$.

Заметим, что $1 - a = -(a - 1)$. Подставим это в числитель: $\frac{-a(a - 1)}{(a - 1)(a + 1)}$.

Сократим общий множитель $(a - 1)$ в числителе и знаменателе.

В результате получаем: $\frac{-a}{a + 1}$.

Ответ: $\frac{-a}{a + 1}$.

3) Чтобы сократить дробь $\frac{(a - b)^2}{b^2 - a^2}$, разложим знаменатель на множители.

Знаменатель $b^2 - a^2$ является разностью квадратов: $b^2 - a^2 = (b - a)(b + a)$.

Дробь принимает вид: $\frac{(a - b)^2}{(b - a)(b + a)}$.

Заметим, что $b - a = -(a - b)$. Подставим это в знаменатель: $\frac{(a - b)^2}{-(a - b)(b + a)}$.

Сократим общий множитель $(a - b)$ в числителе и знаменателе.

Получаем: $\frac{a - b}{-(b + a)} = -\frac{a - b}{a + b} = \frac{b - a}{a + b}$.

Ответ: $\frac{b - a}{a + b}$.

4) Рассмотрим дробь $\frac{m^2 - n^2}{(n + m)^2}$. Разложим числитель на множители.

Числитель $m^2 - n^2$ является разностью квадратов: $m^2 - n^2 = (m - n)(m + n)$.

Дробь принимает вид: $\frac{(m - n)(m + n)}{(n + m)^2}$.

Так как от перемены мест слагаемых сумма не меняется ($m + n = n + m$), мы можем сократить дробь на общий множитель $(m + n)$.

$\frac{(m - n)(m + n)}{(m + n)(m + n)} = \frac{m - n}{m + n}$.

Ответ: $\frac{m - n}{n + m}$.