Номер 6.14, страница 175 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 6.13-6.20 сократите дроби.

6.14. 1) $\frac{a^2-1}{1-a}$;

2) $\frac{m-n}{(n-m)^2}$;

3) $\frac{(x+1)^2}{x^2-1}$;

4) $\frac{a^2-1}{(a-1)^2}$.

1) Чтобы сократить дробь $\frac{a^2 - 1}{1 - a}$, необходимо разложить числитель и знаменатель на множители.

Числитель $a^2 - 1$ является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:

$a^2 - 1 = a^2 - 1^2 = (a - 1)(a + 1)$

В знаменателе $1 - a$ вынесем знак минус за скобки, чтобы получить выражение, совпадающее с одним из множителей в числителе:

$1 - a = -(a - 1)$

Теперь подставим полученные выражения обратно в дробь:

$\frac{a^2 - 1}{1 - a} = \frac{(a - 1)(a + 1)}{-(a - 1)}$

Сократим общий множитель $(a - 1)$, при условии, что он не равен нулю ($a \neq 1$):

$\frac{\cancel{(a - 1)}(a + 1)}{-\cancel{(a - 1)}} = \frac{a + 1}{-1} = -(a + 1) = -a - 1$

Ответ: $-a - 1$.

2) Чтобы сократить дробь $\frac{m - n}{(n - m)^2}$, преобразуем знаменатель.

Заметим, что $n - m = -(m - n)$. Возведем это выражение в квадрат:

$(n - m)^2 = (-(m - n))^2 = (-1)^2 \cdot (m - n)^2 = (m - n)^2$

Дробь принимает вид:

$\frac{m - n}{(m - n)^2}$

Теперь можно сократить дробь на общий множитель $(m - n)$, при условии, что $m \neq n$:

$\frac{m - n}{(m - n)(m - n)} = \frac{1}{m - n}$

Ответ: $\frac{1}{m - n}$.

3) Чтобы сократить дробь $\frac{(x + 1)^2}{x^2 - 1}$, разложим знаменатель на множители.

Знаменатель $x^2 - 1$ является разностью квадратов:

$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$

Числитель $(x + 1)^2$ можно записать как произведение:

$(x + 1)^2 = (x + 1)(x + 1)$

Подставим разложенные выражения в дробь:

$\frac{(x + 1)(x + 1)}{(x - 1)(x + 1)}$

Сократим общий множитель $(x + 1)$, при условии, что он не равен нулю ($x \neq -1$):

$\frac{(x + 1)\cancel{(x + 1)}}{(x - 1)\cancel{(x + 1)}} = \frac{x + 1}{x - 1}$

Ответ: $\frac{x + 1}{x - 1}$.

4) Чтобы сократить дробь $\frac{a^2 - 1}{(a - 1)^2}$, разложим числитель на множители.

Числитель $a^2 - 1$ является разностью квадратов:

$a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1)$

Знаменатель $(a - 1)^2$ можно записать как $(a - 1)(a - 1)$.

Подставим выражения в дробь:

$\frac{(a - 1)(a + 1)}{(a - 1)(a - 1)}$

Сократим общий множитель $(a - 1)$, при условии, что он не равен нулю ($a \neq 1$):

$\frac{\cancel{(a - 1)}(a + 1)}{\cancel{(a - 1)}(a - 1)} = \frac{a + 1}{a - 1}$

Ответ: $\frac{a + 1}{a - 1}$.