Номер 6.8, страница 174 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.8. Сократите дробь:

1) $\frac{3a + 12b}{6ab};$

2) $\frac{15b - 20c}{10b};$

3) $\frac{2a - 4}{3(a - 2)};$

4) $\frac{15x(y + 2)}{6y + 12};$

5) $\frac{a - 3b}{a^2 - 3ab};$

6) $\frac{3x^2 + 15xy}{x + 5y};$

7) $\frac{y^2 - 16}{3y + 12};$

8) $\frac{5x - 15y}{x^2 - 9y^2};$

9) $\frac{(c + 2)^2}{7c^2 + 14c};$

10) $\frac{6cb - 18c^2}{(b - 3c)^3};$

11) $\frac{(a + 5)^2}{a^2 - 25};$

12) $\frac{a^3 - b^3}{a - b}.$

1)Для сокращения дроби $ \frac{3a+12b}{6ab} $ сначала вынесем общий множитель в числителе. Общий множитель для $3a$ и $12b$ равен $3$. После вынесения множителя числитель примет вид $3(a+4b)$. Теперь дробь выглядит так: $ \frac{3(a+4b)}{6ab} $. Сократим числитель и знаменатель на $3$. В итоге получим $ \frac{a+4b}{2ab} $.

Ответ: $ \frac{a+4b}{2ab} $

2)В дроби $ \frac{15b-20c}{10b} $ вынесем общий множитель в числителе. Для $15b$ и $20c$ общим множителем является $5$. Числитель становится $5(3b-4c)$. Дробь принимает вид $ \frac{5(3b-4c)}{10b} $. Сократим дробь на $5$. В результате получаем $ \frac{3b-4c}{2b} $.

Ответ: $ \frac{3b-4c}{2b} $

3)Рассмотрим дробь $ \frac{2a-4}{3(a-2)} $. В числителе $2a-4$ вынесем общий множитель $2$, получим $2(a-2)$. Дробь теперь $ \frac{2(a-2)}{3(a-2)} $. В числителе и знаменателе есть общий множитель $(a-2)$, на который можно сократить. После сокращения остается $ \frac{2}{3} $.

Ответ: $ \frac{2}{3} $

4)Для сокращения дроби $ \frac{15x(y+2)}{6y+12} $ вынесем общий множитель в знаменателе. В выражении $6y+12$ общим множителем является $6$, так что знаменатель становится $6(y+2)$. Дробь принимает вид $ \frac{15x(y+2)}{6(y+2)} $. Сокращаем на общий множитель $(y+2)$. Остается $ \frac{15x}{6} $. Эту дробь можно сократить на $3$. Получаем $ \frac{5x}{2} $.

Ответ: $ \frac{5x}{2} $

5)В дроби $ \frac{a-3b}{a^2-3ab} $ разложим знаменатель на множители. В $a^2-3ab$ вынесем общий множитель $a$, получим $a(a-3b)$. Дробь станет $ \frac{a-3b}{a(a-3b)} $. Сократим на общий множитель $(a-3b)$. В результате в числителе останется $1$, а в знаменателе $a$.

Ответ: $ \frac{1}{a} $

6)Рассмотрим дробь $ \frac{3x^2+15xy}{x+5y} $. В числителе $3x^2+15xy$ вынесем за скобки общий множитель $3x$. Получим $3x(x+5y)$. Теперь дробь имеет вид $ \frac{3x(x+5y)}{x+5y} $. Сократим дробь на общий множитель $(x+5y)$.

Ответ: $ 3x $

7)Для сокращения дроби $ \frac{y^2-16}{3y+12} $ разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель $y^2-16$ является разностью квадратов и раскладывается по формуле $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ как $(y-4)(y+4)$. В знаменателе $3y+12$ вынесем общий множитель $3$, получим $3(y+4)$. Дробь примет вид $ \frac{(y-4)(y+4)}{3(y+4)} $. Сократим на общий множитель $(y+4)$.

Ответ: $ \frac{y-4}{3} $

8)В дроби $ \frac{5x-15y}{x^2-9y^2} $ разложим на множители числитель и знаменатель. В числителе $5x-15y$ вынесем общий множитель $5$, получим $5(x-3y)$. Знаменатель $x^2-9y^2$ является разностью квадратов $x^2-(3y)^2$, которая раскладывается как $(x-3y)(x+3y)$. Дробь становится $ \frac{5(x-3y)}{(x-3y)(x+3y)} $. Сокращаем на общий множитель $(x-3y)$.

Ответ: $ \frac{5}{x+3y} $

9)Рассмотрим дробь $ \frac{(c+2)^2}{7c^2+14c} $. Числитель уже представлен в виде множителей $(c+2)(c+2)$. В знаменателе $7c^2+14c$ вынесем общий множитель $7c$, получим $7c(c+2)$. Дробь принимает вид $ \frac{(c+2)(c+2)}{7c(c+2)} $. Сократим на общий множитель $(c+2)$.

Ответ: $ \frac{c+2}{7c} $

10)Чтобы сократить дробь $ \frac{6cb-18c^2}{(b-3c)^3} $, разложим числитель на множители. В выражении $6cb-18c^2$ вынесем общий множитель $6c$. Получим $6c(b-3c)$. Дробь примет вид $ \frac{6c(b-3c)}{(b-3c)^3} $. Сократим дробь на $(b-3c)$. Степень в знаменателе уменьшится с $3$ до $2$.

Ответ: $ \frac{6c}{(b-3c)^2} $

11)Для дроби $ \frac{(a+5)^2}{a^2-25} $ разложим знаменатель на множители. Знаменатель $a^2-25$ является разностью квадратов и равен $(a-5)(a+5)$. Дробь принимает вид $ \frac{(a+5)^2}{(a-5)(a+5)} $. Числитель можно записать как $(a+5)(a+5)$. Сокращаем дробь на общий множитель $(a+5)$.

Ответ: $ \frac{a+5}{a-5} $

12)Дробь $ \frac{a^3-b^3}{a-b} $ содержит в числителе разность кубов. Используем формулу сокращенного умножения $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$. Подставим это в числитель: $ \frac{(a-b)(a^2+ab+b^2)}{a-b} $. Сократим дробь на общий множитель $(a-b)$.

Ответ: $ a^2+ab+b^2 $