Номер 6.4, страница 173 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.4. Найдите допустимые значения переменной для дроби:

1) $ \frac{3}{2x+6} $;

2) $ \frac{x-1}{x^2-9} $;

3) $ \frac{3}{x^2+8x+16} $;

4) $ \frac{1}{x-3} $;

5) $ \frac{5x}{x^2+1} $;

6) $ \frac{x-5}{x^2-5x} $.

1) Допустимые значения переменной для дроби $\frac{3}{2x+6}$ — это все значения $x$, при которых знаменатель не равен нулю. Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль:

$2x + 6 = 0$

$2x = -6$

$x = -3$

Следовательно, переменная $x$ может принимать любые значения, кроме $-3$.

Ответ: все числа, кроме $-3$.

2) Для дроби $\frac{x-1}{x^2-9}$ знаменатель не должен быть равен нулю. Найдем значения $x$, при которых знаменатель равен нулю. Используем формулу разности квадратов:

$x^2 - 9 = 0$

$(x - 3)(x + 3) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$x - 3 = 0$ или $x + 3 = 0$

$x = 3$ или $x = -3$

Следовательно, допустимыми являются все значения $x$, кроме $3$ и $-3$.

Ответ: все числа, кроме $3$ и $-3$.

3) Для дроби $\frac{3}{x^2+8x+16}$ найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль. Заметим, что знаменатель является полным квадратом:

$x^2 + 8x + 16 = 0$

$(x + 4)^2 = 0$

$x + 4 = 0$

$x = -4$

Допустимыми являются все значения переменной, кроме $-4$.

Ответ: все числа, кроме $-4$.

4) Для дроби $\frac{1}{x-3}$ знаменатель $x-3$ не должен быть равен нулю. Найдем недопустимое значение:

$x - 3 = 0$

$x = 3$

Таким образом, допустимыми значениями являются все числа, кроме $3$.

Ответ: все числа, кроме $3$.

5) Для дроби $\frac{5x}{x^2+1}$ рассмотрим знаменатель $x^2+1$. Выражение $x^2$ всегда неотрицательно для любого действительного числа $x$, то есть $x^2 \ge 0$.

Следовательно, $x^2 + 1 \ge 0 + 1$, то есть $x^2 + 1 \ge 1$.

Это означает, что знаменатель никогда не может быть равен нулю. Таким образом, дробь определена для любых значений $x$.

Ответ: все числа.

6) Для дроби $\frac{x-5}{x^2-5x}$ знаменатель не должен равняться нулю. Найдем значения $x$, которые обращают знаменатель в ноль, вынеся общий множитель за скобки:

$x^2 - 5x = 0$

$x(x - 5) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$x = 0$ или $x - 5 = 0$

$x = 0$ или $x = 5$

Следовательно, допустимыми являются все значения $x$, кроме $0$ и $5$.

Ответ: все числа, кроме $0$ и $5$.