Тесты, страница 168 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Тесты к разделу «Формулы сокращенного умножения»

1. Раскройте скобки: $(2x + 3)^2$.

A) $4x^2 + 6x + 9$ C) $4x^2 + 12x - 9$

B) $4x^2 + 12x + 9$ D) $4x^2 - 12x + 9$

2. Разложите на множители: $9a^2 - 6ab + b^2$.

A) $(9a - b)(a - b)$ C) $(3a + b)(3a - b)$

B) $(3a - b)^2$ D) $(a - 3b)^2$

3. Какое равенство верно для $(a + b)^3$?

A) $(a + b)^3 = a^3 + b^3$

B) $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

C) $(a + b)^2 = a^2 + 3ab + b^2$

D) $(a + b)^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

4. Разложите на множители: $9 - 16x^2$.

A) $(3 - 4x)^2$ C) $(3 + 4x)^2$

B) $(3 - 4x)(3 + 4x)$ D) Нельзя разложить

5. Упростите выражение $(a + b)^2 - (a - b)^2$.

A) $\text{0}$ C) $4ab$

B) $(a + b)^2$ D) $(a - b)^2$

6. Известно, что $3(2x + a)^2 = 12x^2 + 60x + 3a^2$. Найдите значение $\text{a}$ и вычислите значение выражения $3(2x + a)^2$ при $x = -4$.

A) $-24$ C) $\text{24}$

B) $-27$ D) $\text{27}$

7. Найдите многочлен $\text{Q}$, если известно, что $x^3 - 8 = (x - 2) \cdot Q$. Вычислите значение многочлена $\text{Q}$ при $x = -1$.

A) $\text{3}$ C) $-3$

B) $\text{5}$ D) $\text{1}$

8. Если от квадрата со стороной $\text{x}$ см отрезать полосу шириной 2 см, то площадь полученного прямоугольника станет на $\text{14}$ см$^2$ меньше площади квадрата. Найдите периметр квадрата.

А) $\text{36}$ см С) $\text{24}$ см

В) $\text{32}$ см D) $\text{28}$ см

9. Разложите на множители выражение $x^3 + x^2 - 4x - 4$ и решите уравнение $x^3 + x^2 - 4x - 4 = 0$.

A) $-2; 2$ C) $\text{2}$

B) $-2; -1; 2$ D) $-1; 1$

10. Найдите координаты точки пересечения графиков функций $y = (x + 4)^2$ и $y = x^2$. Запишите в ответе произведение этих координат.

A) $-12$ C) $-8$

B) $-6$ D) $-10$

1. Для раскрытия скобок воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$. В нашем случае $a = 2x$ и $b = 3$.

$(2x+3)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot 3 + 3^2 = 4x^2 + 12x + 9$.

Данный вариант соответствует ответу B.

Ответ: B) $4x^2 + 12x + 9$

2. Выражение $9a^2 - 6ab + b^2$ является полным квадратом. Применим формулу квадрата разности $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.

Представим наше выражение в виде: $(3a)^2 - 2 \cdot (3a) \cdot b + b^2$.

Здесь роль $a$ выполняет $3a$, а роль $b$ выполняет $b$.

Таким образом, $9a^2 - 6ab + b^2 = (3a-b)^2$.

Данный вариант соответствует ответу B.

Ответ: B) $(3a - b)^2$

3. Формула куба суммы $(a + b)^3$ раскрывается следующим образом: $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

Среди предложенных вариантов правильной является формула под буквой B.

A) Неверно, это распространенная ошибка. $a^3 + b^3$ раскладывается как $(a+b)(a^2-ab+b^2)$.

C) Неверно, это формула для квадрата, к тому же с неверным коэффициентом.

D) Неверно, $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3$.

Ответ: B) $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

4. Выражение $9 - 16x^2$ представляет собой разность квадратов. Воспользуемся формулой $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Представим выражение в виде: $3^2 - (4x)^2$.

Здесь $a=3$ и $b=4x$.

Следовательно, $9 - 16x^2 = (3-4x)(3+4x)$.

Данный вариант соответствует ответу B.

Ответ: B) $(3 - 4x)(3 + 4x)$

5. Для упрощения выражения $(a + b)^2 - (a - b)^2$ можно использовать формулы квадрата суммы и квадрата разности, либо формулу разности квадратов.

Способ 1: Раскроем скобки.

$(a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2) = a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + 2ab - b^2 = 4ab$.

Способ 2: Используем формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, где $x = a+b$ и $y=a-b$.

$((a+b) - (a-b))((a+b) + (a-b)) = (a+b-a+b)(a+b+a-b) = (2b)(2a) = 4ab$.

Ответ: C) $4ab$

6. Дано равенство $3(2x + a)^2 = 12x^2 + 60x + 3a^2$. Раскроем скобки в левой части:

$3( (2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot a + a^2 ) = 3(4x^2 + 4ax + a^2) = 12x^2 + 12ax + 3a^2$.

Теперь приравняем полученное выражение к правой части исходного равенства:

$12x^2 + 12ax + 3a^2 = 12x^2 + 60x + 3a^2$.

Сравнивая коэффициенты при $x$, получаем: $12ax = 60x$, откуда $12a = 60$, и $a = 5$.

Теперь вычислим значение выражения $3(2x + a)^2$ при $x = -4$ и $a=5$:

$3(2(-4) + 5)^2 = 3(-8 + 5)^2 = 3(-3)^2 = 3 \cdot 9 = 27$.

Ответ: D) 27

7. Дано равенство $x^3 - 8 = (x - 2) \cdot Q$. Отсюда $Q = \frac{x^3 - 8}{x - 2}$.

Выражение в числителе является разностью кубов: $x^3 - 8 = x^3 - 2^3$.

По формуле $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$, получаем:

$x^3 - 2^3 = (x-2)(x^2 + 2x + 4)$.

Таким образом, $Q = \frac{(x-2)(x^2 + 2x + 4)}{x - 2} = x^2 + 2x + 4$.

Теперь вычислим значение многочлена $Q$ при $x = -1$:

$Q(-1) = (-1)^2 + 2(-1) + 4 = 1 - 2 + 4 = 3$.

Ответ: A) 3

8. Площадь исходного квадрата со стороной $x$ см равна $S_{кв} = x^2$ см².

После того, как от квадрата отрезали полосу шириной 2 см, получился прямоугольник со сторонами $x$ см и $(x-2)$ см. Его площадь равна $S_{прям} = x(x-2) = x^2 - 2x$ см².

По условию, площадь прямоугольника на 14 см² меньше площади квадрата:

$S_{прям} = S_{кв} - 14$

$x^2 - 2x = x^2 - 14$

$-2x = -14$

$x = 7$.

Сторона квадрата равна 7 см. Периметр квадрата равен $P = 4x$.

$P = 4 \cdot 7 = 28$ см.

Ответ: D) 28 см

9. Разложим на множители выражение $x^3 + x^2 - 4x - 4$ методом группировки:

$(x^3 + x^2) - (4x + 4) = x^2(x+1) - 4(x+1) = (x^2 - 4)(x+1)$.

Применим формулу разности квадратов к первому множителю: $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$.

Получаем: $(x-2)(x+2)(x+1)$.

Теперь решим уравнение $(x-2)(x+2)(x+1) = 0$.

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$x-2 = 0 \implies x_1 = 2$

$x+2 = 0 \implies x_2 = -2$

$x+1 = 0 \implies x_3 = -1$

Корни уравнения: -2, -1, 2.

Ответ: B) -2; -1; 2

10. Чтобы найти точку пересечения графиков, приравняем их правые части:

$(x + 4)^2 = x^2$

Раскроем скобки в левой части: $x^2 + 8x + 16 = x^2$.

Вычтем $x^2$ из обеих частей: $8x + 16 = 0$.

$8x = -16$

$x = -2$.

Это абсцисса точки пересечения. Найдем ординату, подставив $x = -2$ в любую из функций, например, в $y=x^2$:

$y = (-2)^2 = 4$.

Координаты точки пересечения: $(-2, 4)$.

Найдем произведение этих координат: $(-2) \cdot 4 = -8$.

Ответ: C) -8