Номер 5.188, страница 168 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.188. Разложите выражение на множители:

1) $a^2 + 4ab + 4b^2 - (a + 2b)^3$;

2) $36u^2 - (2u - v)^2$.

1) Заданное выражение: $a^2 + 4ab + 4b^2 - (a + 2b)^3$.

Сначала заметим, что первые три члена $a^2 + 4ab + 4b^2$ образуют полный квадрат. Это соответствует формуле квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

В нашем случае, если взять $x=a$ и $y=2b$, то $(a+2b)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot (2b) + (2b)^2 = a^2 + 4ab + 4b^2$.

Таким образом, мы можем заменить первые три члена на $(a+2b)^2$. Выражение примет вид:

$(a + 2b)^2 - (a + 2b)^3$.

Теперь мы видим общий множитель $(a + 2b)^2$, который можно вынести за скобки:

$(a + 2b)^2 \cdot (1 - (a + 2b))$.

Раскроем скобки во втором множителе:

$1 - (a + 2b) = 1 - a - 2b$.

В итоге получаем разложение на множители:

$(a + 2b)^2(1 - a - 2b)$.

Ответ: $(a + 2b)^2(1 - a - 2b)$.

2) Заданное выражение: $36u^2 - (2u - v)^2$.

Это выражение представляет собой разность квадратов, так как его можно записать в виде $x^2 - y^2$. Для разложения на множители используется формула $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

Представим первый член в виде квадрата: $36u^2 = (6u)^2$.

Таким образом, в нашей формуле $x = 6u$ и $y = 2u - v$.

Применим формулу разности квадратов:

$(6u)^2 - (2u - v)^2 = (6u - (2u - v))(6u + (2u - v))$.

Теперь упростим выражения в каждой из полученных скобок.

Упрощаем первую скобку: $6u - (2u - v) = 6u - 2u + v = 4u + v$.

Упрощаем вторую скобку: $6u + (2u - v) = 6u + 2u - v = 8u - v$.

В итоге разложение на множители имеет вид:

$(4u + v)(8u - v)$.

Ответ: $(4u + v)(8u - v)$.