Номер 5.184, страница 167 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.184. Опишите закономерность, по которой составлена последовательность, и найдите ее последующие 2 члена:

1) 0,2; 0,04; 0,008; ...;

2) 1; 1,5; 1,25; $\frac{7}{8}$; ....

1) Закономерность данной последовательности заключается в том, что каждый следующий член получается путем умножения предыдущего члена на 0,2. Это геометрическая прогрессия со знаменателем $q = 0,2$.

Найдем следующие два члена последовательности:

Четвертый член: $0,008 \times 0,2 = 0,0016$.

Пятый член: $0,0016 \times 0,2 = 0,00032$.

Ответ: 0,0016; 0,00032.

2) Для определения закономерности представим все члены последовательности в виде обыкновенных дробей: $1 = \frac{1}{1}$; $1,5 = \frac{3}{2}$; $1,25 = \frac{5}{4}$; $\frac{7}{8}$.

Закономерность состоит в том, что числитель каждого члена является очередным нечетным числом ($1, 3, 5, 7, \ldots$), а знаменатель — очередной степенью числа 2, начиная с нулевой ($2^0=1, 2^1=2, 2^2=4, 2^3=8, \ldots$). Таким образом, $n$-й член последовательности можно записать формулой $a_n = \frac{2n-1}{2^{n-1}}$.

Найдем следующие два члена последовательности:

Пятый член (при $n=5$): $a_5 = \frac{2 \cdot 5 - 1}{2^{5-1}} = \frac{9}{2^4} = \frac{9}{16}$.

Шестой член (при $n=6$): $a_6 = \frac{2 \cdot 6 - 1}{2^{6-1}} = \frac{11}{2^5} = \frac{11}{32}$.

Ответ: $\frac{9}{16}$; $\frac{11}{32}$.