Номер 5.180, страница 167 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.180. Междугородный автобус первый час двигался со средней скоростью 70 к/ч. Водитель подсчитал, что если продолжит движение с той же скоростью, то опоздает к пункту назначения на 30 мин. Тогда он увеличил скорость на 10 км/ч и прибыл вовремя. Какое расстояние прошел автобус?

Для решения задачи введем переменные и разобьем путь автобуса на два участка.

1. Первый участок пути.

Первый час автобус двигался со скоростью $v_1 = 70$ км/ч. За это время он проехал расстояние $S_1$:

$S_1 = v_1 \times t_1 = 70 \text{ км/ч} \times 1 \text{ ч} = 70 \text{ км}$

2. Второй (оставшийся) участок пути.

Пусть $S_{ост}$ — это оставшееся расстояние, а $t_{ост}$ — запланированное время, за которое автобус должен был проехать этот участок.

Сценарий А (если бы скорость не изменилась):

Автобус ехал бы со скоростью $v_1 = 70$ км/ч. Время в пути составило бы $t_A = \frac{S_{ост}}{70}$. По условию, в этом случае он опоздал бы на 30 минут (0.5 часа). Это значит:

$t_A = t_{ост} + 0.5 \text{ ч}$

Следовательно, $\frac{S_{ост}}{70} = t_{ост} + 0.5$.

Сценарий Б (реальный):

Водитель увеличил скорость на 10 км/ч. Новая скорость $v_2$ составила:

$v_2 = 70 + 10 = 80 \text{ км/ч}$

С этой скоростью он проехал оставшийся путь $S_{ост}$ и прибыл вовремя. Это значит, что он потратил на этот участок ровно запланированное время $t_{ост}$:

$t_{ост} = \frac{S_{ост}}{80}$.

3. Составление и решение уравнения.

Теперь у нас есть два выражения для времени $t_{ост}$. Мы можем подставить второе выражение в первое:

$\frac{S_{ост}}{70} = \left(\frac{S_{ост}}{80}\right) + 0.5$

Перенесем члены с $S_{ост}$ в левую часть уравнения:

$\frac{S_{ост}}{70} - \frac{S_{ост}}{80} = 0.5$

Вынесем $S_{ост}$ за скобки:

$S_{ост} \left( \frac{1}{70} - \frac{1}{80} \right) = 0.5$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю (560):

$S_{ост} \left( \frac{8}{560} - \frac{7}{560} \right) = 0.5$

$S_{ост} \left( \frac{1}{560} \right) = 0.5$

Теперь найдем $S_{ост}$:

$S_{ост} = 0.5 \times 560 = 280 \text{ км}$.

4. Нахождение общего расстояния.

Общее расстояние $S_{общ}$ равно сумме расстояний первого и второго участков:

$S_{общ} = S_1 + S_{ост} = 70 \text{ км} + 280 \text{ км} = 350 \text{ км}$.

Ответ: 350 км.