Номер 5.187, страница 167 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.187. Дана таблица частот вариационного ряда: $x_i$: 0, 2, 4, 6 $n_i$: 4, 7, 6, 3

Найдите: 1) объем и размах выборки; 2) среднее арифметическое значение; 3) моду и медиану. 4) Составьте таблицу относительных частот. Постройте полигон частот.

Для решения задачи воспользуемся данными из таблицы частот вариационного ряда:

$x_i$: 0, 2, 4, 6 (варианты)

$n_i$: 4, 7, 6, 3 (частоты)

Объем выборки (N) – это сумма всех частот. Найдем его, сложив все значения из строки $n_i$ таблицы:

$N = 4 + 7 + 6 + 3 = 20$

Размах выборки (R) – это разность между максимальным и минимальным значениями вариант ($x_i$).

Максимальное значение $x_{max} = 6$.

Минимальное значение $x_{min} = 0$.

$R = x_{max} - x_{min} = 6 - 0 = 6$

Ответ: Объем выборки равен 20, размах выборки равен 6.

Среднее арифметическое значение для вариационного ряда находится по формуле взвешенного среднего:

$\bar{x} = \frac{x_1 n_1 + x_2 n_2 + \dots + x_k n_k}{N} = \frac{\sum_{i=1}^{k} x_i n_i}{N}$

где $x_i$ – варианты, $n_i$ – соответствующие им частоты, $N$ – объем выборки.

Подставим наши значения:

$\bar{x} = \frac{0 \cdot 4 + 2 \cdot 7 + 4 \cdot 6 + 6 \cdot 3}{20} = \frac{0 + 14 + 24 + 18}{20} = \frac{56}{20} = 2.8$

Ответ: Среднее арифметическое значение равно 2.8.

Мода (Mo) – это варианта, которая имеет наибольшую частоту.

В данном ряду наибольшая частота равна 7, и она соответствует варианте $x_i = 2$.

$Mo = 2$

Медиана (Me) – это значение, которое делит упорядоченный вариационный ряд на две равные по численности части. Объем выборки $N = 20$ (четное число). Медиана будет равна среднему арифметическому двух центральных значений, то есть 10-го и 11-го членов ряда.

Чтобы найти эти члены, мысленно расположим все значения в порядке возрастания. Первые 4 члена равны 0. Следующие 7 членов (с 5-го по 11-й) равны 2. Таким образом, и 10-й, и 11-й члены ряда равны 2.

Найдем медиану:

$Me = \frac{2 + 2}{2} = 2$

Ответ: Мода равна 2, медиана равна 2.

Относительная частота ($W_i$) вычисляется по формуле $W_i = \frac{n_i}{N}$, где $n_i$ – частота варианты, а $N$ – объем выборки ($N=20$).

Вычислим относительные частоты для каждой варианты:

Для $x_1 = 0: W_1 = \frac{4}{20} = 0.2$

Для $x_2 = 2: W_2 = \frac{7}{20} = 0.35$

Для $x_3 = 4: W_3 = \frac{6}{20} = 0.3$

Для $x_4 = 6: W_4 = \frac{3}{20} = 0.15$

Проверка: сумма относительных частот должна быть равна 1. $0.2 + 0.35 + 0.3 + 0.15 = 1$.

Таблица относительных частот:

Ответ: Таблица относительных частот представлена выше.

Полигон частот – это ломаная линия, соединяющая точки, координаты которых соответствуют значениям вариант ($x_i$) и их частотам ($n_i$).

Для построения полигона на координатной плоскости отложим по оси абсцисс (горизонтальной оси) значения вариант $x_i$, а по оси ординат (вертикальной оси) – соответствующие им частоты $n_i$.

Получим следующие точки для построения:

• (0; 4)
• (2; 7)
• (4; 6)
• (6; 3)

Соединив эти точки последовательно отрезками прямых, получим искомый полигон частот.

Ответ: Полигон частот строится путем последовательного соединения на координатной плоскости точек (0; 4), (2; 7), (4; 6) и (6; 3) отрезками.