Вопросы, страница 172 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Какие выражения называются дробными?

2. Что такое допустимые значения переменных?

3. Что называют тождественным преобразованием?

4. Докажите основное свойство рациональных дробей.

5. Как изменится знак дроби, если изменить знак числителя или знаменателя?

1. Какие выражения называются дробными?

Дробными (или рациональными дробями) называют выражения вида $ \frac{A}{B} $, где $ A $ и $ B $ — многочлены, причем $ B $ — ненулевой многочлен. Ключевой особенностью дробных выражений является наличие переменной в знаменателе. Выражения, не содержащие деления на переменную, называются целыми. Совокупность целых и дробных выражений образует множество рациональных выражений.

Например, выражения $ \frac{x+y}{x-y} $, $ \frac{3a^2}{b} $, $ \frac{7}{z^2+1} $ являются дробными, а выражения $ x^2 - y^2 $, $ 5a+3 $, $ \frac{c-1}{8} $ являются целыми.

Ответ: Дробными выражениями называются рациональные выражения, которые содержат деление на выражение с переменной.

2. Что такое допустимые значения переменных?

Допустимыми значениями переменных в выражении называют все те значения переменных, при которых данное выражение имеет смысл. Для дробных выражений основное ограничение заключается в том, что знаменатель дроби не может быть равен нулю, так как деление на ноль не определено.

Чтобы найти область допустимых значений (ОДЗ) переменной для дробного выражения, необходимо приравнять его знаменатель к нулю, решить полученное уравнение и исключить найденные корни из множества всех действительных чисел.

Например, для дроби $ \frac{5x}{x-4} $ знаменатель $ x-4 $ не должен равняться нулю. Решая уравнение $ x-4=0 $, получаем $ x=4 $. Следовательно, допустимыми значениями для данной дроби являются все числа, кроме $ 4 $, то есть $ x \neq 4 $.

Ответ: Допустимые значения переменных — это все значения переменных, при которых выражение имеет математический смысл. Для дроби это все значения, при которых ее знаменатель не равен нулю.

3. Что называют тождественным преобразованием?

Тождественным преобразованием выражения называют замену одного выражения другим, тождественно равным ему. Два выражения называются тождественно равными, если их значения равны при всех допустимых значениях входящих в них переменных. Результат тождественного преобразования — это тождество, то есть равенство, верное при всех допустимых значениях переменных.

К тождественным преобразованиям относятся: приведение подобных слагаемых, раскрытие скобок, разложение на множители, сокращение дробей, использование формул сокращенного умножения и другие алгебраические операции.

Ответ: Тождественное преобразование — это замена одного выражения другим, тождественно равным ему на всей области допустимых значений.

4. Докажите основное свойство рациональных дробей.

Основное свойство рациональных дробей формулируется так: если числитель и знаменатель рациональной дроби умножить или разделить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится дробь, тождественно равная данной. То есть, для многочленов $ A $, $ B $ и $ C $, где $ B \neq 0 $ и $ C \neq 0 $, справедливо равенство:

$ \frac{A}{B} = \frac{A \cdot C}{B \cdot C} $

Доказательство:

Пусть дана дробь $ \frac{A}{B} $. Обозначим ее значение через $ q $, то есть $ q = \frac{A}{B} $.

По определению частного от деления, это равенство означает, что $ A = B \cdot q $.

Умножим обе части этого равенства на ненулевой многочлен $ C $:

$ A \cdot C = (B \cdot q) \cdot C $

Используя сочетательный и переместительный законы умножения, преобразуем правую часть:

$ A \cdot C = (B \cdot C) \cdot q $

Снова применяя определение частного, из последнего равенства получаем:

$ q = \frac{A \cdot C}{B \cdot C} $

Поскольку мы начинали с $ q = \frac{A}{B} $ и пришли к $ q = \frac{A \cdot C}{B \cdot C} $, то можем заключить, что:

$ \frac{A}{B} = \frac{A \cdot C}{B \cdot C} $

Это равенство выполняется для всех допустимых значений переменных, при которых $ B \neq 0 $ и $ C \neq 0 $. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство основано на определении операции деления и свойствах умножения.

5. Как изменится знак дроби, если изменить знак числителя или знаменателя?

Если изменить знак числителя или знаменателя дроби, то знак всей дроби изменится на противоположный. Рассмотрим это на примере дроби $ \frac{a}{b} $.

1. Изменим знак числителя. Получим дробь $ \frac{-a}{b} $. Ее можно представить как $ (-1) \cdot \frac{a}{b} = -\frac{a}{b} $. Знак дроби изменился на противоположный.

2. Изменим знак знаменателя. Получим дробь $ \frac{a}{-b} $. Умножим числитель и знаменатель этой дроби на $ -1 $ (согласно основному свойству дроби): $ \frac{a \cdot (-1)}{-b \cdot (-1)} = \frac{-a}{b} $. Как мы уже установили, $ \frac{-a}{b} = -\frac{a}{b} $. Таким образом, знак дроби также изменился на противоположный.

Таким образом, справедливы следующие тождества:

$ -\frac{a}{b} = \frac{-a}{b} = \frac{a}{-b} $

Важно отметить, что если изменить знаки одновременно и у числителя, и у знаменателя, то знак дроби не изменится: $ \frac{-a}{-b} = \frac{a}{b} $.

Ответ: Если изменить знак только числителя или только знаменателя дроби, то знак всей дроби изменится на противоположный.