Номер 6.2, страница 172 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.2. При каких значениях а дробь обращается в нуль:

1) $\frac{a-3}{4}$;

2) $\frac{a+3}{a-3}$;

3) $\frac{a-3}{a}$;

4) $\frac{a+0.1}{3a-1}$;

5) $\frac{3a-2}{2a}$;

6) $\frac{a(a-4)}{a+15}$;

7) $\frac{(a+3)(a-3)}{2a-5}$;

8) $\frac{(a+1)(a+5)}{a-3}$?

Дробь обращается в нуль тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю. Это основное правило, которое мы будем использовать для решения всех подпунктов.

1) Рассмотрим дробь $\frac{a-3}{4}$.

Приравняем числитель к нулю: $a - 3 = 0$.

Решая это уравнение, получаем $a = 3$.

Знаменатель дроби равен 4. Так как $4 \neq 0$, это условие выполняется всегда.

Таким образом, дробь обращается в нуль только при $a=3$.

Ответ: $a=3$.

2) Рассмотрим дробь $\frac{a+3}{a-3}$.

Приравняем числитель к нулю: $a + 3 = 0$.

Отсюда $a = -3$.

Теперь проверим, не обращается ли знаменатель в нуль при этом значении $a$. Знаменатель $a - 3 \neq 0$, то есть $a \neq 3$.

Поскольку $-3 \neq 3$, найденное значение $a=-3$ является решением.

Ответ: $a=-3$.

3) Рассмотрим дробь $\frac{a-3}{a}$.

Приравняем числитель к нулю: $a - 3 = 0$.

Отсюда $a = 3$.

Условие для знаменателя: $a \neq 0$.

Поскольку $3 \neq 0$, найденное значение $a=3$ является решением.

Ответ: $a=3$.

4) Рассмотрим дробь $\frac{a+0,1}{3a-1}$.

Приравняем числитель к нулю: $a + 0,1 = 0$.

Отсюда $a = -0,1$.

Условие для знаменателя: $3a - 1 \neq 0$, что означает $3a \neq 1$, или $a \neq \frac{1}{3}$.

Поскольку $-0,1 \neq \frac{1}{3}$, найденное значение $a=-0,1$ является решением.

Ответ: $a=-0,1$.

5) Рассмотрим дробь $\frac{3a-2}{2a}$.

Приравняем числитель к нулю: $3a - 2 = 0$.

$3a = 2$, откуда $a = \frac{2}{3}$.

Условие для знаменателя: $2a \neq 0$, что означает $a \neq 0$.

Поскольку $\frac{2}{3} \neq 0$, найденное значение $a=\frac{2}{3}$ является решением.

Ответ: $a=\frac{2}{3}$.

6) Рассмотрим дробь $\frac{a(a-4)}{a+15}$.

Приравняем числитель к нулю: $a(a-4) = 0$.

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Значит, $a=0$ или $a-4=0$.

Получаем два возможных значения: $a_1 = 0$ и $a_2 = 4$.

Условие для знаменателя: $a + 15 \neq 0$, то есть $a \neq -15$.

Оба найденных значения ($0$ и $4$) не равны $-15$, поэтому оба являются решениями.

Ответ: $a=0; a=4$.

7) Рассмотрим дробь $\frac{(a+3)(a-3)}{2a-5}$.

Приравняем числитель к нулю: $(a+3)(a-3) = 0$.

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Значит, $a+3=0$ или $a-3=0$.

Получаем два возможных значения: $a_1 = -3$ и $a_2 = 3$.

Условие для знаменателя: $2a - 5 \neq 0$, то есть $2a \neq 5$, или $a \neq 2,5$.

Оба найденных значения ($-3$ и $3$) не равны $2,5$, поэтому оба являются решениями.

Ответ: $a=-3; a=3$.

8) Рассмотрим дробь $\frac{(a+1)(a+5)}{a-3}$.

Приравняем числитель к нулю: $(a+1)(a+5) = 0$.

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Значит, $a+1=0$ или $a+5=0$.

Получаем два возможных значения: $a_1 = -1$ и $a_2 = -5$.

Условие для знаменателя: $a - 3 \neq 0$, то есть $a \neq 3$.

Оба найденных значения ($-1$ и $-5$) не равны $3$, поэтому оба являются решениями.

Ответ: $a=-1; a=-5$.