Номер 5.189, страница 168 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.189. Запишите члены последовательности в виде степени с основанием 3. Найдите первый и последний члены этой последовательности:

..., 9, 3, 1, $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{9}$, ...

Задача состоит из двух частей: представить члены последовательности в виде степени с основанием 3 и найти первый и последний члены этой последовательности.

1. Представление членов последовательности в виде степени с основанием 3.

Рассмотрим каждый из указанных членов последовательности $..., 9, 3, 1, \frac{1}{3}, \frac{1}{9}, ...$ и запишем его как степень числа 3.

• Число 9 равно $3 \times 3$, что можно записать как $3^2$.
• Число 3 можно записать как $3^1$.
• Число 1 по определению степени можно записать как $3^0$.
• Используя свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, число $\frac{1}{3}$ можно записать как $3^{-1}$.
• Аналогично, число $\frac{1}{9}$ можно записать как $\frac{1}{3^2}$, что равно $3^{-2}$.

Таким образом, последовательность, записанная в виде степеней с основанием 3, имеет вид:

$..., 3^3, 3^2, 3^1, 3^0, 3^{-1}, 3^{-2}, 3^{-3}, ...$

Это геометрическая прогрессия со знаменателем $q = \frac{1}{3}$, у которой показатели степени представляют собой убывающую последовательность целых чисел.

2. Нахождение первого и последнего членов последовательности.

Многоточия в начале и в конце записи последовательности $..., 9, 3, 1, ...$ означают, что она бесконечна в обе стороны.

• Первый член: Двигаясь влево от числа 9, каждый предыдущий член получается умножением на 3 (т.е. $9 \times 3 = 27 = 3^3$, $27 \times 3 = 81 = 3^4$ и т.д.). Этот процесс можно продолжать бесконечно, и значения членов будут неограниченно возрастать. Следовательно, у последовательности нет первого (наименьшего по номеру) члена.
• Последний член: Двигаясь вправо от числа $\frac{1}{9}$, каждый следующий член получается делением на 3 (т.е. $\frac{1}{9} \div 3 = \frac{1}{27} = 3^{-3}$, $\frac{1}{27} \div 3 = \frac{1}{81} = 3^{-4}$ и т.д.). Этот процесс также можно продолжать бесконечно, и значения членов будут стремиться к нулю, но никогда его не достигнут. Следовательно, у последовательности нет последнего (наибольшего по номеру) члена.

Ответ: Члены последовательности, записанные в виде степени с основанием 3, имеют вид $..., 3^2, 3^1, 3^0, 3^{-1}, 3^{-2}, ...$ . У данной последовательности нет ни первого, ни последнего члена, так как она бесконечна в обе стороны.