Номер 5.185, страница 167 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.185. Запишите число в виде бесконечной периодической дроби и округлите ее с точностью до 0,001. Найдите относительную погрешность приближенного значения:

1) $1 \frac{1}{3}$;

2) $\frac{3}{7}$;

3) $2 \frac{4}{11}$;

4) $5 \frac{7}{12}$.

1) Сначала запишем число $1 \frac{1}{3}$ в виде бесконечной периодической дроби. Для этого переведем его в неправильную дробь $1 \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$ и выполним деление числителя на знаменатель: $4 \div 3 = 1,333... = 1,(3)$.

Теперь округлим полученную дробь $1,333...$ с точностью до 0,001 (до тысячных). Четвертый знак после запятой равен 3. Так как $3 < 5$, округляем в меньшую сторону, то есть оставляем третью цифру после запятой без изменений. Приближенное значение: $a = 1,333$.

Найдем относительную погрешность. Точное значение $x = \frac{4}{3}$, приближенное значение $a = 1,333 = \frac{1333}{1000}$. Абсолютная погрешность $\Delta$ равна модулю разности точного и приближенного значений: $\Delta = |x - a| = |\frac{4}{3} - \frac{1333}{1000}| = |\frac{4 \cdot 1000 - 1333 \cdot 3}{3000}| = |\frac{4000 - 3999}{3000}| = \frac{1}{3000}$. Относительная погрешность $\delta$ равна отношению абсолютной погрешности к модулю точного значения: $\delta = \frac{\Delta}{|x|} = \frac{1/3000}{|4/3|} = \frac{1}{3000} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{12000} = \frac{1}{4000}$.

Ответ: $1,(3)$; $1,333$; $\frac{1}{4000}$.

2) Запишем число $\frac{3}{7}$ в виде бесконечной периодической дроби, выполнив деление в столбик: $3 \div 7 = 0,428571428571... = 0,(428571)$.

Округлим полученную дробь $0,428571...$ с точностью до 0,001. Четвертый знак после запятой равен 5. Так как $5 \ge 5$, округляем в большую сторону, то есть увеличиваем третью цифру после запятой на единицу. Приближенное значение: $a = 0,429$.

Найдем относительную погрешность. Точное значение $x = \frac{3}{7}$, приближенное значение $a = 0,429 = \frac{429}{1000}$. Абсолютная погрешность: $\Delta = |x - a| = |\frac{3}{7} - \frac{429}{1000}| = |\frac{3 \cdot 1000 - 429 \cdot 7}{7000}| = |\frac{3000 - 3003}{7000}| = \frac{3}{7000}$. Относительная погрешность: $\delta = \frac{\Delta}{|x|} = \frac{3/7000}{|3/7|} = \frac{3}{7000} \cdot \frac{7}{3} = \frac{21}{21000} = \frac{1}{1000}$.

Ответ: $0,(428571)$; $0,429$; $\frac{1}{1000}$.

3) Запишем число $2 \frac{4}{11}$ в виде бесконечной периодической дроби. Целая часть равна 2. Найдем дробную часть, разделив 4 на 11: $4 \div 11 = 0,3636... = 0,(36)$. Следовательно, $2 \frac{4}{11} = 2,3636... = 2,(36)$.

Округлим полученную дробь $2,3636...$ с точностью до 0,001. Четвертый знак после запятой равен 6. Так как $6 \ge 5$, округляем в большую сторону. Приближенное значение: $a = 2,364$.

Найдем относительную погрешность. Точное значение $x = 2 \frac{4}{11} = \frac{26}{11}$, приближенное значение $a = 2,364 = \frac{2364}{1000} = \frac{591}{250}$. Абсолютная погрешность: $\Delta = |x - a| = |\frac{26}{11} - \frac{591}{250}| = |\frac{26 \cdot 250 - 591 \cdot 11}{2750}| = |\frac{6500 - 6501}{2750}| = \frac{1}{2750}$. Относительная погрешность: $\delta = \frac{\Delta}{|x|} = \frac{1/2750}{|26/11|} = \frac{1}{2750} \cdot \frac{11}{26} = \frac{11}{71500} = \frac{1}{6500}$.

Ответ: $2,(36)$; $2,364$; $\frac{1}{6500}$.

4) Запишем число $5 \frac{7}{12}$ в виде бесконечной периодической дроби. Целая часть равна 5. Найдем дробную часть, разделив 7 на 12: $7 \div 12 = 0,58333... = 0,58(3)$. Следовательно, $5 \frac{7}{12} = 5,58333... = 5,58(3)$.

Округлим полученную дробь $5,5833...$ с точностью до 0,001. Четвертый знак после запятой равен 3. Так как $3 < 5$, округляем в меньшую сторону. Приближенное значение: $a = 5,583$.

Найдем относительную погрешность. Точное значение $x = 5 \frac{7}{12} = \frac{67}{12}$, приближенное значение $a = 5,583 = \frac{5583}{1000}$. Абсолютная погрешность: $\Delta = |x - a| = |\frac{67}{12} - \frac{5583}{1000}| = |\frac{67 \cdot 250 - 5583 \cdot 3}{3000}| = |\frac{16750 - 16749}{3000}| = \frac{1}{3000}$. Относительная погрешность: $\delta = \frac{\Delta}{|x|} = \frac{1/3000}{|67/12|} = \frac{1}{3000} \cdot \frac{12}{67} = \frac{12}{201000} = \frac{1}{16750}$.

Ответ: $5,58(3)$; $5,583$; $\frac{1}{16750}$.