Номер 5.179, страница 166 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.179. Для приготовления компота используют смесь двух видов сухофруктов. Стоимость 1 кг первого вида сухофруктов 400 тг, второго вида – 530 тг. Какими должны быть доли каждого вида сухофруктов в смеси, чтобы стоимость 1 кг последней смеси не превышала 450 тг?

Пусть $x$ – доля первого вида сухофруктов (стоимостью 400 тг/кг) в смеси, а $y$ – доля второго вида сухофруктов (стоимостью 530 тг/кг). Так как общая масса смеси принимается за 1, сумма долей должна быть равна единице: $x + y = 1$. При этом доли являются неотрицательными величинами, то есть $x \ge 0$ и $y \ge 0$.

Стоимость 1 кг смеси определяется как взвешенная сумма стоимостей ее компонентов: $400x + 530y$. Согласно условию задачи, эта стоимость не должна превышать 450 тг. Это можно записать в виде следующего неравенства: $400x + 530y \le 450$.

Для нахождения искомых долей необходимо решить систему, состоящую из уравнения $x + y = 1$ и неравенства $400x + 530y \le 450$. Для этого выразим $y$ из уравнения связи: $y = 1 - x$. Затем подставим это выражение в неравенство стоимости: $400x + 530(1 - x) \le 450$.

Решим полученное неравенство относительно переменной $x$: $400x + 530 - 530x \le 450$

$530 - 450 \le 530x - 400x$

$80 \le 130x$

Разделим обе части на 130:

$x \ge \frac{80}{130}$

$x \ge \frac{8}{13}$.

Таким образом, доля первого, более дешевого, вида сухофруктов должна быть не менее $\frac{8}{13}$. Теперь найдем соответствующее ограничение для доли второго вида, $y$. Так как $y = 1 - x$ и $x \ge \frac{8}{13}$: $-x \le -\frac{8}{13}$

$1-x \le 1 - \frac{8}{13}$

$y \le \frac{5}{13}$.

Это означает, что доля второго, более дорогого, вида сухофруктов не должна превышать $\frac{5}{13}$.

Ответ: доля первого вида сухофруктов в смеси должна быть не менее $\frac{8}{13}$, а доля второго вида — не более $\frac{5}{13}$.