Номер 5.176, страница 166 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.176. Ширина прямоугольника составляет $40\%$ от его длины. Если длину уменьшить на $2 \text{ см}$, а ширину увеличить на $4 \text{ см}$, площадь не изменится. Найдите измерения первоначального прямоугольника.

Пусть $l$ см — первоначальная длина прямоугольника, а $w$ см — его первоначальная ширина.

Согласно условию, ширина составляет 40% от длины. Это можно записать в виде уравнения: $w = 0,4l$.

Площадь первоначального прямоугольника $S_1$ вычисляется по формуле: $S_1 = l \cdot w$.

После того как длину уменьшили на 2 см, новая длина стала $(l - 2)$ см. Когда ширину увеличили на 4 см, новая ширина стала $(w + 4)$ см. Площадь нового прямоугольника $S_2$ равна: $S_2 = (l - 2)(w + 4)$.

По условию, площадь не изменилась, следовательно, $S_1 = S_2$. Составим уравнение: $l \cdot w = (l - 2)(w + 4)$.

Теперь мы имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

1) $w = 0,4l$

2) $lw = (l - 2)(w + 4)$

Для решения подставим выражение для $w$ из первого уравнения во второе: $l \cdot (0,4l) = (l - 2)(0,4l + 4)$.

Раскроем скобки и упростим выражение: $0,4l^2 = l \cdot 0,4l + l \cdot 4 - 2 \cdot 0,4l - 2 \cdot 4$ $0,4l^2 = 0,4l^2 + 4l - 0,8l - 8$.

Вычтем $0,4l^2$ из обеих частей уравнения: $0 = 4l - 0,8l - 8$.

Приведем подобные слагаемые в правой части: $0 = 3,2l - 8$.

Перенесем 8 в левую часть, изменив знак: $8 = 3,2l$.

Теперь найдем длину $l$: $l = \frac{8}{3,2} = \frac{80}{32} = 2,5$.

Таким образом, первоначальная длина прямоугольника составляет 2,5 см.

Далее найдем первоначальную ширину, используя соотношение $w = 0,4l$: $w = 0,4 \cdot 2,5 = 1$.

Первоначальная ширина прямоугольника составляет 1 см.

Ответ: первоначальные измерения прямоугольника: длина 2,5 см, ширина 1 см.