Номер 6.12, страница 175 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.12. Докажите справедливость равенства:

1) $\frac{x-2}{y-4} = \frac{2-x}{4-y} = -\frac{x-2}{4-y} = -\frac{2-x}{y-4}$;

2) $\frac{m}{(x-m)(x-n)} = \frac{m}{(m-x)(n-x)} = -\frac{m}{(x-m)(n-x)}$.

1) Для доказательства справедливости равенств преобразуем последовательно каждую дробь, приводя их к виду первой дроби $ \frac{x-2}{y-4} $. Основное свойство, которое мы будем использовать: $a-b = -(b-a)$.

Докажем, что $ \frac{x-2}{y-4} = \frac{2-x}{4-y} $.

Преобразуем правую часть. Вынесем в числителе и знаменателе множитель -1 за скобки:

$ \frac{2-x}{4-y} = \frac{-(x-2)}{-(y-4)} $

Сократив -1 в числителе и знаменателе, получаем:

$ \frac{x-2}{y-4} $.

Равенство доказано.

Докажем, что $ \frac{x-2}{y-4} = -\frac{x-2}{4-y} $.

Преобразуем правую часть. Вынесем в знаменателе множитель -1 за скобки:

$ -\frac{x-2}{4-y} = -\frac{x-2}{-(y-4)} $

Знак "минус" перед дробью и "минус" в знаменателе дают "плюс":

$ \frac{x-2}{y-4} $.

Равенство доказано.

Докажем, что $ \frac{x-2}{y-4} = -\frac{2-x}{y-4} $.

Преобразуем правую часть. Вынесем в числителе множитель -1 за скобки:

$ -\frac{2-x}{y-4} = -\frac{-(x-2)}{y-4} $

Знак "минус" перед дробью и "минус" в числителе дают "плюс":

$ \frac{x-2}{y-4} $.

Равенство доказано.

Поскольку все дроби в цепочке равенств могут быть приведены к одному и тому же виду $ \frac{x-2}{y-4} $, то все они равны между собой.

Ответ: Равенство справедливо.

2) Для доказательства справедливости равенств преобразуем вторую и третью дроби, приводя их к виду первой дроби $ \frac{m}{(x-m)(x-n)} $. Будем использовать свойства $ a-b=-(b-a) $ и $ (-1) \cdot (-1) = 1 $.

Докажем, что $ \frac{m}{(x-m)(x-n)} = \frac{m}{(m-x)(n-x)} $.

Преобразуем правую часть. В знаменателе вынесем множитель -1 из каждой скобки:

$ \frac{m}{(m-x)(n-x)} = \frac{m}{(-(x-m)) \cdot (-(x-n))} = \frac{m}{(-1) \cdot (x-m) \cdot (-1) \cdot (x-n)} $

Так как $ (-1) \cdot (-1) = 1 $, знаменатель становится равен $ (x-m)(x-n) $.

$ \frac{m}{(x-m)(x-n)} $.

Равенство доказано.

Докажем, что $ \frac{m}{(x-m)(x-n)} = -\frac{m}{(x-m)(n-x)} $.

Преобразуем правую часть. В знаменателе вынесем множитель -1 из второй скобки:

$ -\frac{m}{(x-m)(n-x)} = -\frac{m}{(x-m)(-(x-n))} $

Знак "минус" перед дробью и "минус" в знаменателе дают "плюс":

$ \frac{m}{(x-m)(x-n)} $.

Равенство доказано.

Так как вторая и третья дроби могут быть приведены к виду первой дроби, вся цепочка равенств верна.

Ответ: Равенство справедливо.